ただのメモ

他の人に見せても良い方のメモ

図形の分類に入門する

こちらの動画が面白かったので、まとめる。

  • ルネ・トムの業績である、図形(視覚的に認識出来る、見て分かる)の分類、について
  • 図形、とは言い過ぎで、 向きづけられた、コンパクトで、境界(事物や領域などを分ける境目。位相空間Xの部分集合Sの境界について、Xの点pで、pの任意の近傍がSに属する点と属さない点をともに少なくとも1つ持つ。ような全体のなす集合。外からでも内からでも入れる部屋(点)の塊が、境界、と言う名の集合だ)のない、微分可能多様体
  • 微分可能多様体は、ざっくり理解では、次元が決まる図形。

微分多様体とは、こちらの記事をみる。

  • 曲線は滑らかな平面曲線、曲面はなめらかな空間曲面、可微分多様体は、なめらかな位相空間微分が定義できるような位相空間
  • グラフを調べるとき、関数fが微分出来ると、増減や凹凸が分かるし、幾何的な理解が深まることがあった。微分出来るのは幾何的も嬉しい(勿論解析的にも)
  • 詳しく言うと、可微分多様体に必要な、”微分”は、1)UがR^mの開集合のとき、写像F:U→R^nの微分可能性がある。2)位相空間(入れ物)Mに対して、f:M→Rの、Mに属する点Pでの微分は、Pの近傍だけで決まる。3)任意の点の近傍が、R^mの開集合と同じ。、ていう3つがあって、位相空間が、開集合をペタペタ貼り合わせたもの、となる。
  • 写像c:I(Rの開集合)→R^2 が、なめらかな曲線の助変数表示とは、1)cがC^∞級、2)任意の点tでc’(t)!=(0,0)で、速度ベクトルを考えられる。何回も微分出来て、どこもかしこもちょっとは動く、ということ。陽関数表示も考えられたり。それと比べて、陰関数表示、F:U(R^2の開集合)→Rを関数とするを考えると、1)FがC^∞級で、2)F(x,y)=0→(JF)!=(0,0)となる。JFはヤコビ行列(気持ちは、方向微分をいろんな指標にやったやつ)。xとかyとか2変数をFの陰に隠す、というイメージ。陰関数定理(陰関数表示が、陽関数の形に解けるための条件をくれる)も関係あり。
  • 接線方向で、接点を通る、ベクトルを接ベクトルという。
  • 曲面に対しても、接点、接ベクトル、接平面を決めれる。
  • 多様体で、ハウスドルフ空間(どこの2点も開集合で分離出来ること)で、集合族{(Uα、φα)}を、n次元局所座標系というには、1){Uα}がMの開被覆(和集合が多様体Mに一致)で、2)UαからR^nへの同相写像があって、3)UαとUβの共通部分で、同相写像同士を移すやつが、C^∞級写像
  • 特殊線形群、直交群、実射影空間(商集合との間に全単射あり)とか、同次座標、微分同相(微分同相写像が、あって、全単射で、逆写像はC^∞級)、接空間(接線とか、接平面の一般化)
  • 境界は、ざっくり理解では、それ以上先に進めないところ
  • コンパクトとは、大きさが有限であること。
  • 向きづけられるとは、おもてとうらがあること。
  • 球面は、これら4つを満たすもの。
  • 分類するとは、全体の集合の中に、同じ仲間を決めるルールを定めて、小さい集合を作り、それを決めること。例として、三角形(全体の集合)と、相似(ルール)の話。
  • 多様体の分類において、ルールは、コボルダントで、それを入れると、コボルディズム環、が出来る。コボルダントとは、ある多様体の境界として繋がること(?)、向きも考慮(?)
  • 環とは、割り算以外の四則演算が出来る集合。整数全体、2×2正方行列全体、多項式全体、など。
  • 多様体の足し算は、2つの図形を1つと思う。掛け算は、相互積をとる(向きも考慮(?))
  • 複素射影空間とは、(n+1)個の複素数の比全体の集合。n次元複素射影空間CP^nと書く。2n次元の多様体で、1次元複素射影空間はRiemann球面
  • 多様体コボルダントというルール入れて、分類したら、複素射影空間を変数とする、多項式環(体K上で係数、不定元のべき乗で掛けるもの塊、加法も乗法も成立する)、になる。心は、3角形を、相似比、で分類したら、比が同じやつ全部一緒の集合、を変数とした、多項式環、となる。
  • 「有向コボルディズム(2つの多様体が、1つ上の階層の多様体の境界になる)の環をΩ*とかくと、 \Omega^* \otimes \mathbb{Q} \cong \mathbb{Q}[ \mathbb{C}P^2,  \mathbb{C}P^4,...]

 

続いて、こちらの文書を、発展事項として、まとめて見たい。

 

バイバイ!