ただのメモ

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「現代の数学への道 集合と位相」

集合と位相の入門。

数学や思考において、根本的なものなので、是非とも理解したいと考えた。

1)集合と位相の考え方を知る。2)集合と位相の単語、定理を暗記する。3)集合と位相を使える状態にする。

 

はじめましょうか。

集合と写像

  • 集合とは、ものの集まり。ものは、元、集合の元であることを、属する、という。外延的記法と内延的記法がある。
  • 集合の全ての元が、別の集合に属するとき、部分集合、という。集合が、別の集合に、含まれる、という。含まれ、含む、ならば、等しい、という。含まれ、等しくないなら、真部分集合、という。
  • 区間、閉区間、半開区間
  • 元がない集合を、空集合、という。集合である。
  • 集合の、全ての部分集合の、集合を、巾集合、という。
  • 命題(真偽の定まった主張)、真、偽、否定、論理和論理積、論理式、含意、必要条件、十分条件、同値、必要十分条件
  • 和集合、共通部分、交わる、差集合、といった、集合にも足し算、引き算、掛け算みたいなものがある
  • ド・モルガンの法則。補集合
  • 順序対。集合をいくつも用意して、それぞれの元を並べたもの。集合の1つ上の概念か。心は、「集合の配列」。全要素が等しい順序対なら、等しい、という。直積とは、全部の集合の全部の元の順序対全体の集合のこと。有限個の直積も、無限個の直積も話としてはあり得る。第n成分という指定の仕方をする。
  • 写像。始域、定義域、終域、像(定義域の元に対応する終域の元)、逆像(終域に対応する、定義域の集合)、写像全体の集合。グラフ(定義域の元と、終域の元の順序対全体の集合)、相等、合成。定義域を狭めることを、写像の制限という。逆を拡張という。直積の要素を取り出すことを、射影、という。写像の配列を、写像の直積という。
  • 命題関数、自由変数、変域、全称命題、存在命題、反例
  • 集合の集合Aと、集合Bで、BからAへの写像を、添字づけられた、集合族という。集合族にも演算があって、和集合や共通部分がある、差集合もあるはずだ。Xの、部分集合族とは、添え字の集合から、Xの巾集合への写像である。
  • 全射(全てのまとにさしてること)、単射(どのまとにも一個までしかさしてないこと)、全単射(どのまとにも一個さしてること)、包含写像(集合を狭めるような、部分集合にするような写像)、恒等写像(自己ループのような)、逆写像写像を合成すると、恒等写像になるもの、行きと帰り)。写像が存在するための必要十分条件は、写像全単射であること全単射写像の合成の、逆写像は、逆写像の合成になる。

 

 

濃度と二項関係

  • 集合の対等。集合間の全単射が存在するとき、集合が対等、(濃度は等しい)、とする。
  • 有限集合。無限集合。自然数全体と濃度が等しいとき、可算集合、という。高々可算集合。特性関数とは、集合に入っていたら、1、違ったら0を返す関数。
  • ベルンシュタインの定理「X, Yを集合。f(XからY), g(YからX)を写像。fとgがいずれも単射なら、XとYは対等
  • カントール対角線論法(全部並べていって、つまみ食いしたもので作ったら、未知のもの出てきて、おかしいやないか、矛盾!というイメージ)。カントール集合 。実数の濃度は、自然数の濃度より大きい。
  • 同じ集合の2つの直積の部分集合を、集合の二項関係という。同値関係とは、1)反射率(俺は俺)、2)対称律(夫と妻、妻と夫)、3)推移律(友達の友達は友達)を満たす、二項関係(直積の部分集合)。同値類とは、同値関係を持った、1つの元の同値なものの集合。代表元とは、同値類の内の1つの元。
  • 合同とは、同値関係の、ペアである、ということ。商集合とは、巾集合の部分集合で、同値類を、元とした、集合。(同値関係を、集合に持ってきた時の、部分集合に別れさせられたもの)。集合から商集合への写像を、自然な全射、という。
  • 分割、とは、1)巾集合の部分集合が、∅を含まず、任意のもとの集合の元が、属する集合の元があり、3)巾集合の部分集合が、違う元(集合)に対して、共通部分が∅である。、ような巾集合の部分集合。心は、「ケーキ(もとの集合)があって、それを分けるんやけど、いらん切り方(空気切り分ける)せず、ちゃんと分割して、配れるようにしてる、ということ。」
  • 順序、とは、反射率、推移律、反対称律(相手が好きで、自分も好きなら、カップルでは?、とか、反応あって、逆反応あったら、正味一緒では?)があるような二項関係を、順序といい、順序集合という直積集合が、ある。イメージは、「<=」
  • 辞書式順序
  • 比較可能(要素同士に、順序が入るとき)、全順序(全部が整理整頓されてる、順序が入る直積集合)
  • 上界、下界、最大限、最小元、上限、下限。
  • 2つの順序集合を持ってきて、集合を別の集合に移す、写像が、順序を保つ、ということがある。写像全単射で、写像も逆写像も順序を保つなら、順序同型写像、という。
  • 整列集合とは、順序集合(X, R)で、Xの空でない部分集合が、最小元を持つ、ような集合。どんな場所にも、トップ(またはビリ)がいる、ということ。切片とは、Xの元aに対して、aより、小さい元の集合(Xの部分集合)のこと。
  • 整列集合の比較定理「(X, R)、(Y, S)を整列集合とする。次のうち、いずれか1つのみ成り立つ。(要は三パターンということ)1)XとYは順序同型だ。2)Yのある元bに対し、XとY<b>は順序同型だ。3)Xのある元aに対し、X<a>とYは順序同型だ。」正味、同じぐらいか、どっちかがでかいちっこいの話。
  • 超限帰納法「整列集合で、P(a)をXの元aを変数とする、命題関数とする。1)P(minX)が真、2)Xの元でaより小さいやつに対して命題が真なら、aについても真、の2つを満たしていれば、命題はXの任意の元で真」それはそう。でも、それを整列集合に適応した形。川の上流に、汚染物質流したら、下流まで、全部ダメになる。 

位相空間の性質

  • 第一可算公理「(X, O)を位相空間とする。Xの任意の点xに対して、#B(x)<=N0を満たすxの基本近傍系が存在するとき、(X, O)は第一可算公理を満たすという」
  • 第二可算公理「(X, O)を位相空間とする。#B<=N0を満たすOの基底Bが存在するとき、(X, O)は第二可算公理を満たすという」
  • 稠密「(X, O)を位相空間とする。AをXの部分集合とする。A^a=Xであるとき、Aは位相空間において稠密という。

 

大枠がつかめたので、今のところは(じぶんにとっては)良しとしよう

 

それでは、バイバイ!