同値関係
- AはBと同値であるとはどういうことか。
- 同値関係、equivalence relationとは、以下の三つが成り立つことである。
- reflexive
- 反射律
- symmetric
- 対称律
- transitive
- 推移律
閉包
- 位相空間$X$における部分集合$A$を考える。
- 触点というものを定義する
- 任意の正の実数εに対し、となる$x$を$A$の触点という。
- 部分集合$A$の触点全体の集合を$A$の閉包という。
- これは、Aを含む最小の閉集合
- 詳しくはこちらを参照
- 位相空間がハウスドルフであるとは、相異なる2点に対して、それぞれ(片方のみ)を包含して、を分離するような開集合が存在する。
- ハウスドルフ空間はT1空間で、一点集合は閉集合である。
- さらに、コンパクト部分集合は閉集合である。
商写像
こちら。
商位相
- 同値類のからなる部分集合が開集合である、ということを定義したい。
- 同値類を元の集合の部分集合と考える
- すると、その部分集合の和集合は考えられる。
- それが開集合であることも考えられる。
- よって、それを定義に使う。
- これが商位相
開区間が開集合であること。
- 詳しい例などはこちら。
- どんな点でも、それを中心とする十分小さいボールを持ってきたら、すっぽり入る