equivalence relation

同値関係

  • AはBと同値であるとはどういうことか。
  • 同値関係、equivalence relationとは、以下の三つが成り立つことである。
  • reflexive
    • 反射律
  • symmetric
    • 対称律
  • transitive
    • 推移律

 

閉包

  • 位相空間$X$における部分集合$A$を考える。
  • 触点というものを定義する
    • 任意の正の実数εに対し、 U(x, \epsilon) \cap A \neq \phi となる$x$を$A$の触点という。
  • 部分集合$A$の触点全体の集合を$A$の閉包という。
  • これは、Aを含む最小の閉集合
  • 詳しくはこちらを参照

 

 

ハウスドルフ空間

  • 位相空間がハウスドルフであるとは、相異なる2点に対して、それぞれ(片方のみ)を包含して、を分離するような開集合が存在する。
  • ハウスドルフ空間はT1空間で、一点集合は閉集合である。
    • これを利用して、背理法で、ハウスドルフ空間を仮定して、ある同値類の1つを取り出して、それが1点なので、閉集合であることを主張できる。
    • そして、それをもとに、商写像の性質を利用して、
    • 値域で閉集合なら、定義域においても閉集合である、ということを利用して、矛盾を見つける、という操作ができる
  • さらに、コンパクト部分集合は閉集合である。

 

写像

こちら

商位相

  • 同値類のからなる部分集合が開集合である、ということを定義したい。
  • 同値類を元の集合の部分集合と考える
  • すると、その部分集合の和集合は考えられる。
  • それが開集合であることも考えられる。
  • よって、それを定義に使う。
  • これが商位相

 

区間が開集合であること。

  • 詳しい例などはこちら
  • どんな点でも、それを中心とする十分小さいボールを持ってきたら、すっぽり入る