自己共役作用素の入門（その1）

こちらのリンクをまとめる。

自己共役作用素について、1）知りたい。2）使えるようになりたい。3）常にイメージしていたい。

始めましょうか。

自己共役作用素のスペクトル分解

射影作用素。ヒルベルト空間Hとその閉部分空間Mにおいて、射影作用素PMは、 $u = u_1 + u_2, u_1 \in M, u_2 \in M^{\perp} とした時、P_M u = u_1$ として定義される。射影作用素は、有界作用素で、 $M \neq \{0\}$ のとき、 $||P_M||_{op} = 1$ となる。
「 $P \in B(H)$ が射影作用素となる必要十分条件は、 $P^2 = P, P^{*} = P$ が成立すること」、Pは何回掛けてもPやし、Pは自己随伴行列（エルミート行列）である。複素転置とっても、同じところに移してますよ、という話か。
Hilbert空間Hにおける単調増加な閉部分空間の族 $\{M_t\}_{t \in \mathbb{R}}$ が、実数上の交叉が{0}になり、合併がヒルベルト空間全体となり、 $M_{t+0} = M_t$ （ $M_t = {\cap}_s M_s$ (s>t)）であると、、HからMtへの射影作用素の族を単位の分解と呼ぶ。ヒルベルト空間から、閉部分空間の族への対応を、射影作用素の族への対応に置き換えただけの話。だから、射影作用素の族から、定義しても良い。この定義の心は、「もともとは0（ー∞で｛0｝）で、全体を覆う（ヒルベルト空間と等しい）し、根っこは変わらん（共通部分は、一番小さいもの、ベースは変わらん）ような、家族（閉部分空間の族）」ってか。
有界変動関数。閉区間上の複素数値関数ρに対して、分割を考えた時、 $V_{[a,b]}(\rho) = sup_{\Delta}$ $V_{[a,b]}^{\Delta}(\rho) = sup_{\Delta} \Sigma_{k=0}^{n-1}$ $|\rho(\lambda_{k+1})-\rho(\lambda_{k})|$ <∞ を満たす時、ρを[a,b]上の有界変動関数といい、その全体を $BV[a,b]$ と表す。 $V_{[a,b]}(\rho)$ は、全変動と呼ばれる。心は、「閉じた区間の、どこで区切っても、差が∞みたいな意味わからんことなるわけない（ゆらゆらした）関数」
Stieltjes積分。 $f \in C[a,b]$ の有界変動関数ρによるRiemann-Stieltjes和は、λk<=λk*<=λ(k+1)を満たす任意のλk*に対して、 $S_\Delta = \Sigma_{k=0}^{n-1}f(\lambda_k^*)$ $\{\rho(\lambda_{k+1})-\rho(\lambda_k)\}$ で定める。と、Δの分割の区切り方を小さくする、すなわち、Δの隣合うλ同士の差の上界を0に収束させると、fとρと区間だけを考えれば良い。この極限を、 $\int_a^b f(\lambda) d\rho(\lambda)$ と書いて、ρによるfのStieltjes積分と呼ぶ。実数全体上で積分するのが、広義Stieltjes積分。
区間への射影。I=(λ,μ]への射影として、E(I) = E(λ) - E(μ) とすると、MμとMλの直交補空間の積集合への射影になる。1つの空間への射影が、区間という2つの値を指定を許すと、積集合（空間）への射影も作れる、という話。
関数を積分したものの不等式で、Schwarzの不等式が出てくる。
スペクトル作用素。 $D_\varphi (T) = \{u\in H : \int_{-\infty}^{\infty} |\varphi(\lambda)|^2 d$ <E(λ)u, u>　＜ $\infty\}$