Benjamin Ono equationなど - 医学は数学したい

こちらの文献に触れる。
well-posedness of the periodic dispersion-generalized Benjamin-Ono equation in the weakly dispersive regime
周期的、分散性をもつ、Benjamin Ono方程式について
重要そうな単語をpick upしていく。
- dispersion-generalized Benjamin-One equation
  - $\partial_t u + \partial_x D_x^{\alpha} u = \partial_x (u^2)$
  - $u(0) = u_0$
  - いくつかの記号の意味あいを調べる
  - 左辺第一項は、uなる時間と空間の関数の時間による偏微分
  - 左辺第二項は、 $D_x^{\alpha} u$ のxによる偏微分
  - このDなる記号については、Fourier乗数 $F(D_x^{\alpha})(\xi ) = |\xi |^{\alpha}F(u) (\xi )$
  - フーリエ変換をして、ξのα乗を掛けて、それを逆フーリエ変換をしたもの。
  - $\alpha = 0$ なら、粘性Burgers' equationとなる。
  - $\alpha = 1$ は、Benjamin-Ono equationと呼ばれ、深層流体における、長い内部波動をモデルする。
  - $\alpha = 2$ なら、Korteweg-de Vries方程式である。
  - 右辺第一項は、uの二乗のxによる偏微分した関数
- 保存則
  - Korteweg-de Vries方程式や、Benjamin-One方程式は、可積分なPDEで、保存量を無限個もっている。
  - αについて一般化しても、平均値や、質量や、Hamiltonianなる量が保存する。
- well-posedness
  - wiki
  - 解の存在性
  - 解の一意性
  - パラメータが連続的に変化したら、解も連続的に変化する。
この文献は、ソボレフ空間における、この、Dissipation-generalized Benjamin-Ono equationの良設定性についての議論。
このソボレフ空間には、実数線かトーラスか、というかたちの多様性と、αにどんな数を乗せるか、という数の多様性がある。
- これが、periodicの伏線回収
もう少しだけ進めていこう。
さらに単語を拾い集めていく。
- perturbation
  - wiki
- integrability
- gauge transform
- Holder's inequality
- Bernstein's inequality
  - wiki
  - データの期待値がある値より大きい確率について、
- Duhamel's principle
- frequency-dependent time-localizations

一旦置いておく。