『トポロジー最適化』をめくる - 物理医学数学の日記

I am very sleepy now, but I am still up.

昼下がりの一番眠い時期である。

こちらの文献をめくる。

トポロジー最適化 (計算力学レクチャーコース) | 西脇眞二, 泉井一浩, 菊池昇, 一般社団法人日本計算工学会 |本 | 通販 | Amazon

折角なので、目標を立てて、めくりたい。

１．トポロジー最適化が何かがわかる

という感じでめくる。ただし、このまとめる計画はそれだが、結果として出来た記事には、その順序は反映されないだろう。なんせ、ただのメモなので。

構造最適化の分類
- 構造最適化とは、事前に定められた設計・境界条件から望む性能を最大化できるような構造・形状を決めること
  - 寸法最適化、形状最適化、トポロジー最適化がある
  - 柔軟性（自由度）はこの順番に上がる
- 全応力設計の考え方
  - 「各構造部材の断面での主応力の最大値が許容値に達成するように設計する」
  - $d^{k+1}= d^{k} + H^{-1} (\bar{\sigma} - \sigma^{k})$ という形で式を更新して、許容値 $\bar{\sigma}$ に達したらOK。
  - 感度解析とも組み合わせられる。
  - 連続体力学との組み合わせにしたい場合は以降の手法。
- 寸法最適化、形状最適化
  - 力法
    - 感度解析して、形状勾配を求める。
    - その分の仮想荷重を足し
    - 形状を更新する
トポロジー最適化の基礎
- トポロジー最適化
トポロジー最適化の実装方法
- 固定設計領域と境界条件の設定
  - 求めたい設計領域を設定する。
  - 固定条件、境界条件を設定する。
  - これらは途中で変更しない。（最初から最後まで一緒）
- 最適化のためのパラメータと設計変数の設定
  - 体積密度や体積の上限、下限に関する値を設定する。
- 固定設計領域の有限要素離散化と数値解析
  - 固定設計領域を有限要素により分割する
  - 変位ベクトルを求める。
    - その際、剛性マトリクスと節点荷重ベクトルを算出する。
    - （積分による）
- 目的関数と体積の計算
  - 目的関数である全ポテンシャルエネルギーを求め、固定設計領域での体積を求める
- 収束条件の判定
- 目的関数と体積の設計感度の計算
  - 目的関数が自己随伴になっているため、
    - （平衡方程式と随伴方程式が同一になる）
  - 非常に感度計算が楽（嬉しいね）
- 設計変数の更新
  - ヘッセ行列（二階微分）を求めることは、厳しい。
    - なので、ニュートン法は使えない。
    - 残念！
  - 目的関数の1次微分だけを使うのが主流。
トポロジー最適化の諸問題と対策方法
トポロジー最適化の適用例
レベルセット法による構造最適化の方法

一部分めくっただけだが、お気持ちは察することが出来た。というレベルだ。

また読んでみたい。