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Sobolev埋め込み

Sobolev不等式

Sobolev inequality - Wikipedia

  •  W^{k,p}(\mathbb{R}^n)をn次元実数空間上での、全ての、最初のk階弱微分した関数が L^pにある、実数関数からなる、ソボレフ空間とする。
    • ここで、kは非負指数、pは1以上のある実数
  • Sobolev埋め込み定理
    • もし、kがlより大きく、pがnより小さく、、pより大きな数qについて、
    •  1/p - k/n = 1/q - l/n
    • が成り立つなら、
    •  W^{k,p} (\mathbb{R}) \subset W^{l,q} (\mathbb{R})
  • k=1の時、lが0で確定するから、qも確定する。
    • このとき、qをpのSobolev共役という言い方をする(Sobolev conjugate of p)
  • Hölder空間 C^{r,\alpha} (\mathbb{R}^n)への埋め込み。
    • もしnがpkより小さく、 r +\alpha = k - n/p, \alpha \in (0,1)なら、
    •  W^{k,p} (\mathbb{R}) \subset C^{r,\alpha} (\mathbb{R}^n)
  • ここでの等しく無さとは、埋め込みによる包含関係による大小のことだったのか???

もう少し勉強が必要だ。まだ体力が足りていない。

戦略的撤退とする。