Sobolev埋め込み - ただのメモ

Sobolev不等式

をn次元実数空間上での、全ての、最初のk階弱微分した関数がにある、実数関数からなる、ソボレフ空間とする。
- ここで、kは非負指数、pは1以上のある実数
Sobolev埋め込み定理
- もし、kがlより大きく、pがnより小さく、、pより大きな数qについて、
- $1/p - k/n = 1/q - l/n$
- が成り立つなら、
- $W^{k,p} (\mathbb{R}) \subset W^{l,q} (\mathbb{R})$
k=1の時、lが0で確定するから、qも確定する。
- このとき、qをpのSobolev共役という言い方をする（Sobolev conjugate of p）
Hölder空間への埋め込み。
- もしnがpkより小さく、 $r +\alpha = k - n/p, \alpha \in (0,1)$ なら、
- $W^{k,p} (\mathbb{R}) \subset C^{r,\alpha} (\mathbb{R}^n)$
ここでの等しく無さとは、埋め込みによる包含関係による大小のことだったのか？？？

もう少し勉強が必要だ。まだ体力が足りていない。

戦略的撤退とする。