- 物理と形、記号演算としての代数、幾何、解析に興味がある。
- そこで調べものをしていると、よさげな文献に出会った。
- こちらを素早くまとめる。
- 始めましょうか。
- 幾何学
- 直観（構成要素の関係）
- 空間の構造
- 見えることと、構造
- 日常の経験が、根源にある
- しかし、見え方はいろいろ
- 小さすぎるものは見えない
- 人体の中身は見えない（可視光）
- 全部は見えない（視界による制限）
- 仮定
- 領域が、隣同士の距離が定まった連続的に並ぶ点から構成される集合
- さまざまな幾何学
- グロタンディークのスキーム理論
- 代数幾何学
- 空間X
- X上の関数のデータR
- 関数
- 関数には各点毎で演算がある
- 足し算、引き算、掛け算
- これらで閉じているのが、環
- ところで、関数の環は、可換
- 例
- 空間Xがn次元座標空間
- 1つの多項式方程式
- その方程式の自然数倍分は、Rの要素は、同一視される。
- 自然な同一視
- 例：
は、[tex: yを0として見た時に同一視出来る。
- XをRのスペクトルという。
- ニルポテント(nilpotent)
- 非可換幾何学
- 可換環の理論を、非可換環に拡張する試み
- 非可換と物理
- 例：量子力学での作用素
- 座標と運動量の作用素のブラケット積が
- 非可換
- 非可換多項式
- 経路問題
- 格子を考えて、(0,0)から(5,5)に移動することを考える。
- 上に行って右に行くことと、右に行って上に行くことは、結果が同じだが、道のりは違う。
- 掛けたものが同じなら同じと見なすのが可換、違うと思うのが非可換
- なので、経路の和をとること＝道のりを区別しないこと＝可換にすること
- 経路積分
- 幾何学的直観
- ベクトル束
- 空間Xにより連続的にパラメータ付けされたベクトル空間の族
- X上のベクトル束が、加群と対応する
- 環の形をとる部分（中心からずれる、ベクトル的）と、群の形をとる部分（パラメータ付けしているところ、輪っか）
- 難しい言葉ばかりでわかりにくい時は、平たい言葉を使う方が良い。
- 例：メビウスの帯
- メビウスの帯はぐるっと回してまたかえって来る。
- もとの帯を伸ばして端から1㎝ごとに印をつける。
- これがパラメータ付け。
- ぐるっと戻ってくるので、「辿る」という操作に関して、群をなす。
- ここで、メビウスの帯の各点において、1次元実数空間を割り当てることが出来る。（帯の各位置における、横幅みたいなイメージ）
- 超幾何
- 超可換性
- 可換かもしれないし、掛ける順番が逆だと‐1が掛かるかもしれない。
- これを考えると、可換の時の議論が使えることがあるらしい。
- 超代数
- 超幾何と超ひも理論
- 幕間：ホモロジー代数学
- 既存の集合から新しい集合を構成する２つの方法
- 「条件」
で円、という集合を考える
- 「パラメータ付け」
- 全てのデータを余すところなく示す
- [tex: x=cos( \alpha), y=sin( \alpha )
- ホモロジー代数
- トポロジーを関連
- 「サイクル」
- ホモロガス
- 2つのサイクルが何かしらの図形の境界となる。
- 球は互いにホモロガスな1次元のサイクルはない
- トーラスにはそれがある。
- コチェイン複体
- 境界の境界は存在しない
- 2回微分する（境界演算子をかける）と0
- BRST量子化
- 導来幾何学
- 平坦な空間から曲がった空間に進む
- 線形空間から多様体へ
- 多様体上には、接空間という平坦な空間がある。
- ここでの平坦な空間を、曲がった空間に拡張する。
- 複体を考える。
- why?－円錐の尖点などでは、近傍で線形近似が成り立たないから、上手くいく仕組みが欲しかった。
- 導来化、なるものがあるらしい。
- 局所的幾何学と大域的幾何学
- 結論
わからない言葉が多かったが、以前まとめた時よりは、数学的な言葉への抵抗が少なかった気がする。
それでも、やんわり理解をしただけで、厳密に理解できている訳ではない。目を通して少し考えた、というのが現状だ。
自分が知らない幾何学がたくさんあることが分かっただけでも、収穫である。
バイバイ！
