ただのメモ

他の人に見せても良い方のメモ

『数学と物理学により触発された幾何学の趣』を読んで

  • 物理と形、記号演算としての代数、幾何、解析に興味がある。
  • そこで調べものをしていると、よさげな文献に出会った。
  • こちらを素早くまとめる。
  • 始めましょうか。
  • 幾何学
    • 直観(構成要素の関係)
    • 空間の構造
    • 見えることと、構造
      • 日常の経験が、根源にある
      • しかし、見え方はいろいろ
        • 小さすぎるものは見えない
        • 人体の中身は見えない(可視光)
        • 全部は見えない(視界による制限)
      • 仮定
        • 領域が、隣同士の距離が定まった連続的に並ぶ点から構成される集合
          • 距離という付加的構造
          • 点が要素
    • さまざまな幾何学
  • グロタンディークのスキーム理論
    • 代数幾何学
    • 空間X
    • X上の関数のデータR
      • 別の言い方をすると、RはX上のある種の関数の集合
    • 関数
      • X上の任意の点xに数値f(x)を対応させるもの
    • 関数には各点毎で演算がある
      • 足し算、引き算、掛け算
      • これらで閉じているのが、環
      • ところで、関数の環は、可換
      • 空間Xがn次元座標空間
      • 1つの多項式方程式
        • その方程式の自然数倍分は、Rの要素は、同一視される。
          • 自然な同一視
          • 例:
            •  x^2+y, x^2は、[tex: yを0として見た時に同一視出来る。
      • XをRのスペクトルという。
    • ニルポテント(nilpotent)
      • 何回か掛けたら0になるもの
      • これを含む環
        • 二重数の環D
  • 非可換幾何学
    • 可換環の理論を、非可換環に拡張する試み
    • 非可換と物理
      • 例:量子力学での作用素
        • 座標と運動量の作用素のブラケット積が pq - qp = ih
        • 非可換
      • 非可換多項式
        • 経路問題
        • 格子を考えて、(0,0)から(5,5)に移動することを考える。
        • 上に行って右に行くことと、右に行って上に行くことは、結果が同じだが、道のりは違う。
          • 掛けたものが同じなら同じと見なすのが可換、違うと思うのが非可換 
          • なので、経路の和をとること=道のりを区別しないこと=可換にすること
          • 経路積分
    • 幾何学的直観
      • ベクトル束
        • 空間Xにより連続的にパラメータ付けされたベクトル空間の族
        • X上のベクトル束が、加群と対応する
        • 環の形をとる部分(中心からずれる、ベクトル的)と、群の形をとる部分(パラメータ付けしているところ、輪っか)
      • 難しい言葉ばかりでわかりにくい時は、平たい言葉を使う方が良い。
      • 例:メビウスの帯
        • メビウスの帯はぐるっと回してまたかえって来る。
          • もとの帯を伸ばして端から1㎝ごとに印をつける。
          • これがパラメータ付け。
        • ぐるっと戻ってくるので、「辿る」という操作に関して、群をなす。
        • ここで、メビウスの帯の各点において、1次元実数空間を割り当てることが出来る。(帯の各位置における、横幅みたいなイメージ)
          • 環をなす
  • 超幾何
    • 超可換性
      • 可換かもしれないし、掛ける順番が逆だと‐1が掛かるかもしれない。
        • そこは、掛けるもの、f、g依存
      •  f \cdot g = (-1)^{deg(f) \cdot deg(g)} g \cdot f
      • これを考えると、可換の時の議論が使えることがあるらしい。
      • 超代数
    • 超幾何と超ひも理論
      • 代数曲線とそのモジュライ空間
  • 幕間:ホモロジー代数学
    • 既存の集合から新しい集合を構成する2つの方法
      • 「条件」
        •  x^2+y^2=1で円、という集合を考える
      • 「パラメータ付け」
        • 全てのデータを余すところなく示す
        • [tex: x=cos( \alpha), y=sin( \alpha )
    • ホモロジー代数
      • トポロジーを関連
        • 空間のおおまかな形状を研究する幾何学
      • 「サイクル」
      • ホモロガス
        • 2つのサイクルが何かしらの図形の境界となる。
          • 球は互いにホモロガスな1次元のサイクルはない
          • トーラスにはそれがある。
      • コチェイン複体
        • 境界の境界は存在しない
        • 2回微分する(境界演算子をかける)と0
      • BRST量子化
        • 物理的状態の同一視
  • 導来幾何学
    • 平坦な空間から曲がった空間に進む
    • 線形空間から多様体
    • 多様体上には、接空間という平坦な空間がある。
      • 例えば、円における接線
    • ここでの平坦な空間を、曲がった空間に拡張する。
      • 複体を考える。
      • why?-円錐の尖点などでは、近傍で線形近似が成り立たないから、上手くいく仕組みが欲しかった。
      • 導来化、なるものがあるらしい。
    • 局所的幾何学と大域的幾何学
      • 導来スキームと高次スタック
  • 結論

わからない言葉が多かったが、以前まとめた時よりは、数学的な言葉への抵抗が少なかった気がする。

それでも、やんわり理解をしただけで、厳密に理解できている訳ではない。目を通して少し考えた、というのが現状だ。

自分が知らない幾何学がたくさんあることが分かっただけでも、収穫である。

バイバイ!