”What is algebraic biology?"を読む

代数的に生物学を考えると、どうなるかが気になる。

こちらを一息で読む。

始めましょうか。

  • 代数が生物と関わるとはどういうことか
    • 数理生物学では、たいてい、ODE（時折PDE）でモデルを作る
      • 例えば、感染症におけるSIRモデル
    • 代数と言えば、こういう難しそうなものを思い浮かべる。
      • 例えば、蛇の補題（こちら。）
      • とうてい生物と関係しているように見えない
    • 線形代数なら、数理生物と繋がりがある。
      • さらに、線形の形に持って行くことで、使える場合がある。
        • ロトカ・ボルテラの方程式は非線形な式だが、平衡点周りでテイラー展開して、二次以上の項を無視すれば、線形に出来る。
      • 線形多項式は便利
    • 非線形多項式
    • 代数生物学は、新しい数学の卵となる。
  • 線形代数と非線形代数の比較
  • 生化学反応ネットワーク
  • 分子ネットワークのブーリアンモデル
    • 多項式代数を使うと、ODEの力学系での性質はどうなる？？？
      • 平衡点、リミットサイクル、安定性など
  • 系統学（Phylogenetics）と代数統計学
    • 進化的関係性と共通の祖先
    • 2分木で、葉がn個の時、辺は2n-2個
      • 一個の葉は1つの種における、一塩基
    • 塩基の変異の入り方を写像と考える
    • \phi^{2n-2} \rightarrow \phi^{4^n}となる。
    • 4^n -1 次元の単体 \Delta_d と、 Im (\phi )の共通部分
      • 系統学モデル
        • M_T \subset \mathbb{R}^{4^n}
        • 単体にしているのは、全体の総和を1に保つため
          • 全確率は1
        • その内、像と重なる部分こそが、今回の系統学的なモデルで扱う集合。
    • 系統学的不変量のイデアル
      • MT上で0をとる多項式関数の集合のこと
      • I_T = \{f \in \mathbb{R} [ x1, \cdots , x_{4^n} ] | f(p) = 0, \forall p \in M_T \}  
    • 系統学的多様体
    • 系統樹に確率を持たせ、それを多項式の塊として、代数の手法を絡める、ということか
  • ニューロサイエンスにおける場所
    • 場所細胞
      • 動き回ると、場所に応じて、違う部分集合の細胞を発火する。
      • 特定の神経細胞の発火を起こすような場所を、Place fieldという。
    • Pseudomonomialなる道具を使う
      • \mathbb{F}_2 [ x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \におけるPseudomonomial 
        • [tex: X_c(x) =x_1(x_2 -1)x_3 (x_4-1)(x_5-1)
      • 単体的複体
    • 1つの変数を神経細胞とすると、その配列が、全体での神経細胞集団の発火パターンとなる。
    • それが、特定の場所を示すか、という時にPseudomonomialが1か0か、という情報に変換する。
    • 神経のコード（配列、発火パターンの集合）は、イデアルと対応する。
      • その変数配列を代入すると、0を返すような関数の集合
    • Neural Ideal
    • Receptive Field
      • あるコードにおいて、両方1なら、その細胞1つずつのしめす領域がオーバーラップする
      • もし、片方が1であることが、他方が1であることを示すなら、領域同士に包含関係がある。
      • これを多項式がイデアルに含まれているか、という話で言い換えが出来る。
    • Canonical Form of Jc
      • Jcの最小Pseudomonomialの集合
    • 代数が、どのように、Place fieldsの幾何、位相的性質を明らかにするか。
  • 最後に、Pseudomonomialについて補足があった。
    • Pseudomonomialとは、以下の形式の多項式
      • \prod (x_i-r_ij)^{a_ij} , r_{ij} \in \mathbb{F} , a_{ij} \in \mathbb{Z}_{\geq 0}^n
    • 0か1の時、活性と抑制と言い換えると、神経の繋がり（Wiring）の図（Diagram）となる。
  • Signed mini set
    • 何がしたいかがつかめなかった。

全体的には、代数生物学が生物学を代数的に考えようとしていること。例えば、反応、分子ネットワーク、遺伝、神経などについて扱っていること。

それが解ったので、今は良しとする。

バイバイ！