極小曲面

極小曲面について知りたい。

昨日の自分に説明するつもりで書く。

始めましょうか。

こちらの文献。

  • 直観的理解と論理的理解
  • はじめに
    • 直観的には、極小曲面とは、最小の面積をもつ曲面
    • 一般化した概念として、Willmore曲面というのがあるらしい
    • それが、微分幾何で面白いという
  • 定義：曲面S（ S \subset \mathbb{R}）上の点pにおける2つの主曲率
    • その点におけるshape operatorの固有値
    • 幾何的な解釈：主曲率は、どのように曲面が折れているか
  • 定義：曲面Sの平均曲率とは、2つの主曲率の平均
  • 定義： 曲面S上の点におけるガウス曲率（Gaussian Curvature）とは、主曲率の積
    • 具体例：円柱は0、円柱を折り曲げてドーナツにする。くりぬいている内側は負、外側は正
  • 定義：曲面Sが極小（minimal）となるのは、平均曲率が0である、ただその時のみ。
    • 同値な主張がいくつかある
      • わからない（フラグを立てておく）
  • 定義：曲面S上のある点で、2つの主曲率について、 k_1 = k_2なら、その点は曲面Sの臍点（umbilical point）という。
    • 具体例：平面、球なら、全ての点が臍点
  • 極小曲面の具体例：平面。懸垂面（Catenoid）。螺旋面。
    • 懸垂面とは、双曲線をy軸周りに一回転させて出来る曲面。
    • 螺旋面とは、螺旋上に上がっていく面
      • 数式の理解： z = \theta, x = rcos(\theta), y = rsin(\theta)
    • 懸垂面と螺旋面はお互いを切り貼りせずに、そのまま移り変わることが出来る
  • さらに続く極小曲面の具体例
    • Scherkの第一曲面、第二曲面
    • Catalan極小曲面
    • Enneper曲面
    • Costaの極小曲面
  • 球やRing torusは極小曲面ではない
  • 3次元以上に行く
  • Cliffordトーラス
    • 数式での理解： cos(\theta ) , sin( \theta) , cos(\phi ) , sin( \phi)
  • Willmore曲面
    • Willmore Energy
      • 球からどれだけ解離しているか
      • 具体例（生物）：細胞膜と球の近さ
      • 数式による理解：Hを平均曲率、dAを微小面積とする
        • W (\Sigma ) = \int_\Sigma H^2 dA
    • Willmore Functionals
      • Euler-Lagrange方程式の解
        • \Delta H + 2H(H^2-K) = 0
    • Willmore曲面∑とは、Willmore FunctionalかWillmore EnergyについてのStationary Immersed 部分多様体である。
      • Stationaryは固定された
        • Willmore FunctionalやWillmore Energyが固定された。定まったという意味だろう。
      • Immersedは没入した
    • W \geq 4 \pi
      • この等号成立するのは球の時
  • 動機：種数が0以外の曲面について、Willmore曲面のことを考えたい。
  • Willmore接続（Willmore Conjecture）
    • 3次元ユークリッド空間上で、滑らかなimmersedなトーラスを考える。
    • Willmore functionalは W \geq 2 \pi^2

追加で以下の資料をかいつまんで終わりとする。

  • Weierstarss-Enneperの表現公式なるものがある。
    • 極小曲面が臍点を除き、局所的には、微分可能な複素関数を用いて表される。
    • これは、極小曲面の構成方法となる。
      • いくらでも作れる。
    • 数式による理解： (x,y,z) = Re( \int_{w_0}^w (1-\w^2) f(w) dw , \int_{w_0}^w i (1+w^2)f(w)dw, \int_{w_0}^w 2wf(w) dw)
  • 極小曲面がいくつあるか
    • 定理：平面内の単純閉曲線はコンパクト極小曲面をただ一つしか張らない
      • 閉曲線が平面内の凸閉曲線に1対1に直交射影されるなら、ただ一つしかない、
      • 一対一対応があれば、先の定理を応用できる
    • 定理：閉曲線Γの全曲率 \int_\Gamma kds が 4 \piより小さいなら、Γで張られるコンパクト極小曲面はただ一つしかない
  • 極小曲面の安定性
    • ガウス写像
      • 曲面上の点の単位法ベクトルをとる。
      • その法ベクトルの始点を原点に持ってくるように、平行移動する。
      • すると、そのベクトルの終点が単位球面上に来る。
      • これを写像と見なす。つまり、曲面上の点から、単位球面上の点への移動を写像として考える。これがガウス写像。
    • コンパクトで向きつけ可能な極小曲面Xのガウス写像の像の面積が 2 \piより小さいなら、極小曲面Xは安定
      • 安定というのは、摂動加えても、面積最小に落ち着くこと
      • 自然界では安定な極小曲面ばかり
  • 汎関数をいろいろ変えると面白いらしい

平均曲率流なども知りたいので、またまとめ直す。

バイバイ！