こちらの動画をまとめ、体験する。
- 知りたいのは以下のこと。
- なので、前３つが課題。
始めましょうか
- 多項式が既約であること、を調べると、既約多項式というものが出てきた。
- 既約多項式について調べる。こちらのサイト。
- 代数学において、既約多項式とは、多項式環（多項式の足し算や掛け算が定義されている構造）での既約元のこと。
- 既約元については、こちら。
- 既約元とは、抽象代数学において、整域の０でも単元でもない元が、それが非単元の積でないとき、既約という。
- ちなみに、整域について、こちらのサイトを見た
- 整域とは、、つまり、単位元をもつ可換環で、0以外の零因子のないものである。そして、単元については、こちら。
- 一般に代数系の乗法と呼ばれる二項演算に対する逆元を持つ元のこと、
- 冪等元とは、二項演算で、自分と自分を掛け合わせて、自分が生まれる、というような「自分」のことを冪等であるという。自分 is a 冪等元。
- 蛙の子は蛙。
- 写像における冪等は、
。
- 環の冪等元とは、環の乗法に関して冪等である元
- 環の冪等元全体の集合には、半順序を決められる
- 0は最小な、1は最大な冪等元
- いくつかの冪等元をもつ半群に対して、元Aに対して、ある元Bとある冪等元Eが存在して、AB=Eとなるとき、AをEに対する右可逆元という。左はBA=E。
- それで、単位的半群について。こちら。
- モノイドについて、その単位元に対する、可逆な元を単元という。
- まとめると、いくつかの冪等元（自分を合わせると自分になるやつ）を持つ単位的半群について、その単位元（冪等なやつ）に対して可逆な元を、単元という。
- ある意味、逆元みたいなやつがおる元、と感じられる。
- さっきの零因子は、なにか掛けたら零になるかもしれないやつ。今回の単元は、なにかかけたら単位元（冪等元）になるかもしれないやつ。
- 整域の0でも単元でもない元が、二つの非単元の積でないとき、既約。
- 既約元は既約な元なので、これでわかった。
- 既約多項式について、もう少し詳しく書く
- なので、結局、既約多項式とは、多項式環という中の要素で、零とか零因子（ぜろっぽい）とか単元でない、素数みたいなやつ。
- 拡大について。こちらは軽く調べる
- モニック多項式について。こちら。
ここまでわかれば、後は実際に体験する。
import math
import sympy
import numpy as np
def Irreducible_Polynomial(A,X):
#Xは行列に落とし込みたい多項式、最大次数はn-1,大きい次数順に係数があるリスト
m = len(A)
#Aをモニック多項式の係数のリストとする。nをAの最大次数とする。
n = m-1
B = [[0]*n for i in range(n)]
#行列を入れるようの器となる零行列
for i in range(n):
temp = X.copy()
if i == 0 :
for l in range(n):
B[l][n-1] = X[l]
continue
else:
use = X.copy()
#ここからのfor loopが多項式の割り算を頑張る部分
for j in range(i):
#いったん係数のリストを預かる
for k in range(n-1):
temp[k] = use[k+1] - use[0] * A[k+1]
else:
temp[n-1] = -use[0] * A[n]
use = temp.copy()
for l in range(n):
B[l][n-1-i] = temp[l]
#行列に更新している。
return(B)
a = [1,0,-3,4]
x = [1,1,1]
matrix = Irreducible_Polynomial(a,x)
#逆行列を求める。
matrix_inv = np.linalg.inv(matrix)
print(matrix_inv)
