Levy process

  • Levy processについて
  • 確率過程 X = \{ X_t : t \geq 0 \} がLevy過程であるとは何か。
    • X_0 = 0 almost surely.
      • 確率１でそのことが起こる、という意味合い
    • 増分の独立性
      • 異なる時刻、0, t1, t2, t3, ∞で、
      • X_{t_2} - X_{t_1}, X_{t_3} - X_{t_2}が相互に関与しない
    • stationary increment
      • X_t - X_s, X_{t-s}が同じ分布
      • 時間差による値と、値の差が、同じ分布
    • continuity in probability
      • 任意の \epsilon ＞ 0と t \geq 0について、 \lim_{h \rightarrow 0} P(| X_{t+h} - X_t| ＞ \epsilon ) = 0
  • Levy Khintchine representation
    • 特性関数 characteristic functionによって特徴付けられる
    • その形が、Levy-Khintchine formulaと言われる
    • \mathbb{E} [ e^{i \xi X_t} ] = e^{t \eta (\xi)}
    • ここで、 \eta{\xi}がとある関数で与えられる。
  • Levy processは、linear integro-differentail operatorsと関連がある
    • 詳しいことはこちらの記事へ
    • 確率過程と非局所方程式との関連性があることがわかる。
  • Levy processの一般化として、Levy random fieldなるものがある。
    • Levy processは時間に対して、１つの値を返してくるけれど、
    • Levy random fieldは領域に関して返してくるから、多次元への拡張版である。