Conway-Maxwell-Poisson分布

• Conway-Maxwell-Poisson分布
  • 離散確率分布
  • ポアソン分布を一般化したもの
  • λとνが正で、λは0＜λ＜1、νはいろいろ
  • νが1なら、ポアソン分布
  • νが∞なら、ベルヌーイ分布
  • νが0なら、幾何分布となる。
• 累積密度関数
  • 超幾何関数

お絵描きする。

#%matplotlib inline

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

import math

T=20;

###initial condition###

def Fac(n):

  fac = 1

  for i in range(1,n+1):

    fac *= i

  return fac

def Z(u,v):

  z = 0

  for i in range(100):

    z += u**i/(Fac(i)**v)

  return z

def pcmp(u,v,x):

  return u**x/(Fac(x)**v)

zuv1 = Z(1,1.5)

zuv2 = Z(3,1.1)

zuv3 = Z(5,0.7)

zuv4 = Z(3,3)

CMP1 = [pcmp(1,1.5,x)/zuv1 for x in range(T)]

CMP2 = [pcmp(3,1.1,x)/zuv2 for x in range(T)]

CMP3 = [pcmp(5,0.7,x)/zuv3 for x in range(T)]

CMP4 = [pcmp(3,3,x)/zuv4 for x in range(T)]

time1 = [n for n in range(T)]

import matplotlib.pyplot as plt

# xに対応するyの値を用意

plt.plot(time1,CMP1,"r-..")

plt.plot(time1,CMP2,"g-.")

plt.plot(time1,CMP3,"b--")

plt.plot(time1,CMP4,"purple")

plt.xlabel("x")

plt.ylabel("probability")

plt.title("CMP distribution")

# plt.show()で画面に表示

plt.show()

• CMP分布のパラメータを推定する方法２つ
• 重みづけ最小二乗法
  • 単純で、効率的だが、正確さに欠ける
  • 
  • 少し変数を変えて、（対数変換して）最小二乗法をする（傾きと切片を求める）
  • ついでに、分散とか、モーメントの類を取り出せる
  • しかし、対数変換の過程で、だいぶ誤差が入る。
•  最大尤度
  • 正確だが、複雑で、計算量多い
  • データ点x_iについての確率を全て掛けたもの（λとνの関数）を用意する
  • それを最大化するようなλとνの組を求めましょうという問題に落ち着く
• こうして、データ点から、CMP分布に回帰することが出来る。
• 気持ちとしては、ポアソン分布やベルヌーイ分布、幾何分布っぽさをνの値で調節できる分布だった、ということ。
• このような、複数の分布の性質を重ね合わせたもの、ということは色々拡張できそうだ。面白い。

バイバイ！