だから、
こちらのスライドをまとめる。
はじまっるよ～。
- そもそも圏とは、 「対象、射、合成からなる。対象ってのは、XとかYとか点とかのこと。射ってのは、ｆ、ｇとか、ｆ：ｘ→ｙというふうに始点と終点を対象にもつ。あの点（札幌駅）からその点（釧路駅）ということ。合成は、2つの射の始点と終点をくっつけること。札幌から、釧路通って、知床までいくのは、結局札幌から知床まで行くこと。結合律は、行き先について、どうくっつけても行き方は同じというので、平行四辺形のイメージだ。恒等射は、札幌駅からバスで札幌駅行くみたいなので、イメージはどの駅（対象）にも、自分の駅に回ってくるバス（恒等射）がある、ということ。
- 身近な例として、集合と写像、位相空間と連続写像、可測空間と可測写像、ベクトル空間と線形写像、群と準同型写像、代数（環）と準同型写像、ヒルベルト空間と有界線形作用素（出てきましたな）が、ある
- 圏Cの対象全体をO(c)、射全体をM(c)とかく。圏Cとは、「射について、始点と終点がはっきりしていて、合成で、射と射から射を作れて、恒等射について対象を決めたら、射を決まる」というので、図式は可換（どこから初めても良いわよ）ということになる。
- 対象が集合である圏の例として、半順序集合（あ＜＝い、と、あ→い、が同等、各対象の組に対して、高々1本の射があるもの、確か、選好もこれやったきがする）がある。他には、モノイド（群）といって、対象が1点の小圏（リンゴの木に何をやっても、リンゴの木）。他には、位相空間の点と、パスのホモトピー類（ホモトピーの話はまた今度）からなる圏（基本亜群）
- 圏について、射の全体と射の全体の合成で、射の全体が出来る。札幌から釧路までの移動手段（徒歩、バス、鉄道など）全てと、釧路から知床までの移動手段（舟、自転車など）全てを掛け合わせて、札幌から知床までの移動手段全てとなる。逆圏について、対象を変えずに、射の向きを入れ替えた感じ。イメージは、時間を巻き戻していくスタイル。
- 関手とは、圏Cと圏Dについて、関手とは、対象を対応づけ、射を対応付け、合成と恒等射を保つ。惑星Aでの圏という交通網は、惑星Bでの圏という交通網と、のりものとか駅とかは全然違っても、正味おなじやん。てこと。構造写像による解釈として、圏は、1）対象、2）射、3）始点、4）終点、5）合成、6）恒等射、の6つを持ってて、それを別の圏のそれと、対応づけるのが関手。構造写像について、可換にする。
- 関手の例として、離散位相を入れる関手、密着位相を入れる関手、位相を忘れる関手、集合から生成される線型空間を対応させる関手、位相から生成されたBorel測度空間を対応させる関手、内積から定まる距離位相の空間を対応させる関手、空間のホモトピー群、ホモロジー群、コホモロジー群を対応させる関手などがある。やっぱり位相の話とか測度論、出てきましたね。ちなみに、圏から双対圏にうつすものを、反変関手という。対象の順番入れ替わるから注意（時間の流れが逆になるからね）
- 自然変換とは、2つの関手に対して、その間に定められるもので、各対象Xについて、与えられるDの射、tx: Fx→Gxであって、任意の射に対して、Tx, Ff, Ty, Gfで書かれる図式を可換にする。txが同型射なら、tを自然同型と呼ぶ。FでもGでも関手で移すものが、同じような形なら、その関手（という名の変換）は、自然同型（正味一緒）ということだ。
- 圏が同値である。ということは、2つの関手で、お互いに写し合ったとき、（交通網のある惑星を行き来したとき）、つまり合成したとき、恒等射となること（結局、各々の惑星から巡回ロケットでてる感じ）。同値な圏の例として、集合の圏と離散空間の圏、有限次元ベクトル空間は、相対により、自分自身の逆圏と同値、有限の半順序集合の圏と、有限の完全分配束の逆圏、がある。圏論とホモトピー論の対応としては、点は圏、線（パス）は関手、面（ホモトピー）は自然変換、・・・ということ。次元が上がっても、それに応じて圏全体と空間の対応が取れる。
続きは、また別の記事で。
バイバイ！
