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体論:殴り書きノート1

体論の勉強をしたい。

1)体論の言葉を知る、2)体論の使い方を知る、3)体論の考え方を身につける

 

はじまるよ~

 

こちらの動画かみくだく

  • 体拡大(体にいくつかの元を足すことで、もとの体を含む体を作れるとき、足した体を核大体という。(群では部分群を考えるばっかりだったが、体では拡大体を考えることが多い。)部分体、という言葉の逆のことをしている。部分体は、体に含まれる元の集合a, bについて、a, bが含まれるなら、a-b, a^-1*bが含まれる。(集合でいう、部分集合に、演算を保存した版、という気持ちか)
  • ガロア群ガロア拡大の自己同型の全体の集合は、群をなす。
  • 中間体
  • 代数拡大。体の拡大は、さっき説明したように、体にいくつかの元を足して、もっと大きい体を作ることだが、代数的に拡大すること。
  • 正規。正規基底は、有限次ガロア拡大に対する、ある特別な種類の基底、で、ガロア群に対する単一の基底を生成するもの。正規基底定理、ていう、のがある。
  • 分離的
  • ガロア拡大

※この 記事が、代数拡大、分離拡大、正規拡大、ガロア拡大のまとめとして良い。

  • 自己同型群自己同型とは、自分を移す写像で、移したら、自分の(代数的でも幾何的でも)構造を維持したものになる、という性質を持った写像のこと)、これは、単位元(そのまま移す)、逆元(移すのと逆にする)、結合則(移して、また移したら、合成出来る)を満たすので、群となる。圏論とかで自己同型群(射の塊)が出てくる。
  • 共役とは、共軛(くびき、馬車で同時に動かすための棒)、から類推できるように、何かと何かが、くっついて、同じように振る舞っているということ。代数拡大体の自己同型(自分から自分に、構造を保って移す)で、移り合う元の関係のこと。(全ての自己同型の集合は、自己同型群をなす)
  • 最小多項式線形代数学の話だと、モニック多項式(係数環Aが体なら、任意の非零多項式は丁度1つの同伴モニック多項式を持つ)に、行列を代入して得られる行列が、零行列であり、最高次数が1の多項式を、最小多項式という。(詳しくはこの記事、ケーリー・ハミルトンの定理と、行列の相似、ジョルダン標準形について、言及)。(モニック多項式はそれはそれで面白そうだが、話が発散しそうなので、別の機会で)。体論の話だと、
  • 重根。一変数多項式解析学における零点とかと関係がある)のうち、重複度は2以上のもの。
  • 標数
  • ガロア
  • 巡回群巡回群について語っている記事。たった1つの元から生成される群のことを巡回群という。整数の+に関する群が、1の(無限)巡回群巡回群は指数の形、(何回掛けたか、の情報)に出来る。で、巡回群可換群(順序を入れ替えても良い、群のこと。群では、中心という、群の任意の元と交換する元全体の集合、つまり部分群があることがある。群がアーベル群となるための、必要十分条件は、群が、中心と一致すること。中心で割った剰余群が、巡回群なら、群はアーベル群である。)
  • 部分群。群の部分集合で、もとの群の演算に関して、群となること。演算の範囲を狭めたイメージ。HがGの部分群となる必要十分条件は、HがGの部分集合で、HからGへの包含写像(含まれる範囲を広げる写像、犬から動物)が準同型(複数の対象に対して、構造を保つ写像を持つこと、構造と可換とも言われる。心は、対象と対象の間の橋と、対象内での橋の、どっちを先に渡っても、つくところは同じ、ということか)を与えること。
  • ラグランジュの定理「Gを有限群とし、HをGの部分群とすると、このとき、|G|=[G:H]|H|が成立する」心は、群を部分群で割り切ろう、というイメージ。

 

ガロア理論にも通ずる話なので、もっと学んでみたい。こんな記事もあるが、また別の機会で読むとしましょう。

 

それでは、バイバイ!