数学的対象を記述するパワフルなtoolとして、圏論 category theoryというものがある。
数学的対象を、１つの圏として考える。
圏と圏の間の関係も考える必要がある。
こうすることで複数の数学的対象に何らかの対応づけができる。
さらに、”関係と”関係”の関係も考えていくことが出来る。なぜなら、”関係”を１つの数学的対象だとすることで、同じ問題に帰着できるからだ。
こんな感じで、圏の表し方と、圏と圏の関係の表し方を調べる学問だ。
ふんわり理解は済んだので、少しレベルアップする。
こちらのwikiを見てみよう。
objectとarrowがある。
arrowについて、２つ要請があって、
１つは、各々の対象に対する恒等射の存在と
もう１つは、射の結合性, associativeであること
対象と射のペアを組んでいて、たとえば、
全て、恒等写像と合成則がある。
中には、monoid（二項演算で閉じて、結合則と、単位元があるもの。逆元があれば群になる）
みたいな特殊なものがある。
どう特殊かというと、
対象に、射をかませると、対象になるイメージが圏論にはあるが、
この射が、対象の要素と（演算を介して）紐づいている
わかりにくさ回避のため、自然数と足し算のペアを考えると、
1 + 2 = 3
は、１という対象の要素に、”＋２をする”という射をかませると、３という対象の要素になるのだが、
ここでの”２”も、元の対象の要素だよね、ということ。
ここから、代数的構造の議論が展開されていく予感がする（ほぼ確実にそうだろう）が、この記事は圏論の雰囲気を掴むことを目的にしていたので、満足しておく。