ただのメモ

他の人に見せても良い方のメモ

球面集中現象

このような記事がある。

数学が脳の機能の活性化に一役買っているらしい。

よく計算ドリルが認知症防止に効く。という類いの情報に触れることはあっても、ドーパミンなどの報酬系との関連は初めて聞いたので驚いた。

どうやら、単純な計算問題や音読などで、幅広い部位が活性化するらしい。

逆に難しい問題は前頭葉の一部に活性化が限局するらしい。

 

どの程度信じるかの色づけが難しいが、数学・計算が良いものというところは信じるとする。

 

それで、今日も計算なりをしてみよう。

 

人には向き・不向きがある。

覚えるのが得意。早起きが得意。走るのが速い。仕事が速い。メールが丁寧。

そういったあらゆる良し悪しの尺度を俯瞰的に見ると、平均的な人はいない、という話が出てくる。

(高次元のデータでは、ノイズがどこかしらに強く入ってしまうことになる。いわゆる「球面集中現象」のこと)

それを試してみよう。

 

早起きと仕事の速さ、と言う具合に、2つの指標があって

それらが正規分布で、互いに独立の指標だとする。

すると、こんな感じでばらけるのだろう。


ここで、少し雑だが、原点からの距離を見て貰いたい。角度はただ一様分布からサンプリングしているだけなので、意味はない。(形が綺麗ということはある)

 

ここで、指標を増やすとどうなっていくか考えて見る。

10個の指標ならこんな感じ。

穴が見えてきた。

さらに増やして、23000個にするとどうなるだろうか。

いわゆる、高次元球面に集中する現象が起きる。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import random
import math 
import matplotlib.cm as cm

N = 1000
n = 23000
 
plt.figure(figsize = (10,10))

for i in range(N):
  s = np.random.normal(0,1,n)
  t = s**2
  u = sum(t)
  v = random.random()* math.pi *2
  plt.scatter(u*math.cos(v),u*math.sin(v),color = cm.hsv(random.random()))

plt.show()

 

「普通」の人はいない、という一種の証明のようなものだろうか。

今日は早く寝よう。