ただのメモ

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双曲平面の幾何学

こちらのスライドをさくさくまとめた。

  • 双曲タイリング
  • 三角形の頂点が3つに分類出来る。
    • 4個の三角形が集まる所
    • 6個の三角形が集まる所
    • 14個の三角形が集まる所
  • 曲がった三角形には、3種類の頂点が1個ずつある
  • 三角形の辺は3つ
    • 辺を延長すると、外周に直交する。
      • 円弧か直線か
      • 両者の違いは、中心を通るか否か
  • 双曲平面とは、
    • ユークリッド平面とは異なる平面
      • どう異なる
      • 点や直線や円という考え方はある。
    • 理想円
      • 理想円の内側の点
    • 直線
      • 理想円に直交する円または中心を通直線
      • 全ての点が理想円の内側にある円
      • 点Aを中心とする円がAを通る全ての直線に直交する。
    • 2点を通る直線の引き方
      • 点Aの反転A'を求める
      • 点Bの反転B'を求める。
      • AA'の垂直二等分線を引く
      • BB'の垂直二等分線を引く
      • 両者の交点を中心として、Aを通る円を描く
    • 三角形
      • 内角の和は等しい
      • 180°より小さい
    • 平行線
      • 1つの点Aを通り直線lに平行な直線は沢山
    • 直線lに関する点Aの反転
      • lが中心を通る直線なら、折り返し
      • 否なら、lを単位円として、反転を求める。
      • この変換、双曲平面上での距離を変えない。
        • 嬉しい性質!
        • ユークリッド的には変わっているように見えちゃうんだけど。。。
  • 金言
    • 数学の本質はその自由性にある。
      • 前提に注意するのは、直感や常識に縛られないための確認である。