ただのメモ

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Lamplighter Group

Lamplighter 群

Lamplighter group - Wikipedia

  • 制限輪積 \mathbb{Z}_2 \mathbb{Z}
  • introduction
    • 群を、正負双方に無限に繋がるランプの列として考える
    • それぞれのランプが明かりがついてるか、消えてるかの2通りである。
    • そして、ランプをつける人が l_kに立っている。
    • 書き方を変えると、 B = \bigoplus_{\infty}^{\infty} \mathbb{Z}_2
      • Z_2は、明かりがついてるか消えてるか
      • どの明かりがついてるかは、それぞれの明かりについての情報の直和で表せる。
      • さらに、ここに、ランプをつける人の場所を返すような関数があればOK
    • 群に追加でgeneratorを考える
      • t
        • ランプをつける人が次ぎのランプに移動できるように、k足す
      • a
        • ランプを状態を変える
        •  l_kでのランプをONからOFF、もしくは、OFFからONへ
  • Presentation
    • リース積で表される
      • リース積? (→別記事で!)
  • 行列表現
    • tを変数とすると、kを整数として、2×2の行列を作る。
      • 要素に、t^k、tの多項式p、0、1が入る。
    • ランプライター群が、その行列と同型になる。
      • aやtも同じように行列で表現することが出来る。
  • 一般化 
    •  ランプの状態を2通りから、n通りに拡張することが出来る。 
      • そうなると、aみたいな操作が、n(n-1)/2個ある、ということになる。
      • 面白そう。