Lamplighter Group - ただのメモ

Lamplighter 群

制限輪積 $\mathbb{Z}_2$ ≀ $\mathbb{Z}$
introduction
- 群を、正負双方に無限に繋がるランプの列として考える
- それぞれのランプが明かりがついてるか、消えてるかの2通りである。
- そして、ランプをつける人が $l_k$ に立っている。
- 書き方を変えると、
  - Z_2は、明かりがついてるか消えてるか
  - どの明かりがついてるかは、それぞれの明かりについての情報の直和で表せる。
  - さらに、ここに、ランプをつける人の場所を返すような関数があればOK
- 群に追加でgeneratorを考える
  - t
    - ランプをつける人が次ぎのランプに移動できるように、k足す
  - a
    - ランプを状態を変える
    - $l_k$ でのランプをONからOFF、もしくは、OFFからONへ
Presentation
- リース積で表される
  - リース積？（→別記事で！）
行列表現
- tを変数とすると、kを整数として、2×2の行列を作る。
  - 要素に、t^k、tの多項式p、0、1が入る。
- ランプライター群が、その行列と同型になる。
  - aやtも同じように行列で表現することが出来る。
一般化
- ランプの状態を2通りから、n通りに拡張することが出来る。
  - そうなると、aみたいな操作が、n(n-1)/2個ある、ということになる。
  - 面白そう。