2022-05-18 Helmholtz方程式 ヘルムホルツ方程式 ヘルムホルツ方程式 - Wikipedia ヘルムホルツ方程式とは、 ラプラシアンと定数k、A is unknown function defined on 3 dimensional Eucledian Space として表せる、楕円型の偏微分方程式のこと k=0の時、ラプラス方程式 例えば、 波動方程式を解くとき 時空間パターンを知る時に、 時間と空間を、別々の関数に分離できると仮定すると、 という具合に 変数分離できる。 そして、もとの波動方程式に代入して、 2種類の微分方程式を得る。 片方が、ヘルムホルツ方程式。 他方が、2階常微分方程式 こちらは、三角関数の線形重ね合わせで解が求まる。 その他の例では、電磁波、地震、音響などで登場するらしい。 いずれも、時空間的な構造が見られる。 さらに、ヘルムホルツ方程式を解くことを考えられる。 一般解が変数分離によって求められる。 さっき波動方程式から、変数分離をかませて、ヘルムホルツ方程式を導出したので、 2連続変数分離ということになる。 3次元なら、球ベッセル関数と球面調和関数で、 2次元なら、三角関数とベッセル関数で 表すことが出来る。 近軸における式 ヘルムホルツ方程式を少し改良すると、出てくる。 レーザーなどの、光の伝播の際に使えるみたいだ。 要するに、空間の広がり方を扱う、ラプラシアンと何かの定数を足し合わせた式があったら、それの一般解を求められる。というわけか。