"Kan拡張”について学ぶ

以前より、圏論、関手について学んだ。

それの復習をしつつ、そこから先に踏み込んでみよう。

今回の目標は”Kan拡張”を理解することである。

こちら。

始めましょうか。

前提知識について
自然変換
- 圏2つと、その間の関手2つ、を用意。
- 関手から関手への自然変換
  - イメージとしては、射の族で、射について、平行四辺形則のようなものを満たす。
- 自然変換を2つ考えると、その合成則を考えられる。
  - 垂直合成
- 関手圏
  - 関手を対象とし、自然変換を射とする。垂直合成を射の合成とし、自然変換FからFに写す射を恒等変換とする。
- 関手 $F,G: A \rightarrow B, H: B \rightarrow C$ とし、自然変換 $\theta : F \rightarrow G$ とすると、新たな自然変換 $H \theta : A \rightarrow C$ が作れる。
- その延長上に、水平合成がある。
- （まとめる）自然変換は関手から関手に入れ換える感じ。垂直合成が入れ換えてさらに入れ換える感じ。水平合成は、圏から圏に写して、さらに別の圏に写す時に、1段階目の関手間の自然変換と、2段階目の自然変換を合成するもの。
米田
- Hom関手
  - 2種類
    - $Hom_C (a,-): C \rightarrow Set, Hom_C (-,b) : C^{op} \rightarrow Set$
    - 対象を射の塊に写し、射を射の塊間の写像に写す。そんな関手。
- 米田埋め込み
  - 関手 $y: C \rightarrow Set^{C^{op}}$
  - 圏から、圏の射の向きを入れ換えた圏から射の塊の圏に写す関手に、写す写像
    - 圏からHom関手の集合に写す。
- 米田の補題
  - Cを圏、 $a \in C$ を対象、 $P: C^{op} \rightarrow Set$ を関手とする。
  - 全単射 $\phi_{a,P} : Hom_{\hat{C}}(y(a), P) \rightarrow P(a)$ が存在。
  - なんとなく分かったような、、、。
    - Hom関手を対象とする圏において、そのあるaに対応するHom関手と別のHom関手の間の射の集合と、Hom関手によって写されるaに対応づけられた射の集合を対象とする圏
    - つまり、圏の対象とHom関手との間に一対一関係がある
- 圏の対象が同型
  - Hom(a,x)とHom(b,x)に対応があると、aとbにも対応が取れる。（同型）
  - 双対性
- つまり、圏の対象が同型かが、射の集合と密接に関わっている。
  - 対象を見ることと、関係性を見ること。
コンマ圏
- C0、C1、Dを圏とし、 $K: C_0 \rightarrow D, L: C_1 \rightarrow D$ を関手とする。
- C0の対象とC1の対象と圏D内での射をひとかたまりの「対象」とする
- C0の射とC1の射で、さっきの「対象」とべつの「対象」を対応づけるものを、ひとかたまりの「射」とする。
- この圏をコンマ圏 $K \downarrow L$ という。
- ふんわり説明すると、圏を3つくっつくけたものを圏と見なした物。
余極限
- 図式
  - 関手
    - Iは添え字圏
      - 添え字のついた圏なんだろうか（？）
- 図式の余極限
  - colim FはCの対象
  - 各μiは、Cの射で、 $\mu_i : Fi \rightarrow colim F$
  - Iの射 $f: i \rightarrow j$ について、 $\mu_j \circ Ff= \mu_i$
  - ここまで、同じ条件を満たす、Cの対象と射の組があったら、Cの射が一意に存在して（colim Fからその対象に写す、射が存在して）、合成則を満たす。
    - 要はベクトルを２つ足したらでかいベクトルになる、みたいなイメージがある。
随伴
Kan拡張
- C, D, Uを圏、F, EをCからそれぞれD, Uに写す関手とする。
- Fに沿ったEの左Kan拡張
  - 関手と自然変換の組
- こういうことかな、と思ったので、書く
  - 先程、出てきた余極限では、対象と射（正確には射の集合）の組を考えた。
    - そして、似たような性質を持つ対象と射の組との間に、一意な、合成則を満たす射があった。
  - 一方で左Kan拡張では、関手と自然変換の組を考えた。（自然変換は、関手を対象と見なした時の射のようなもの）
    - そして、似たような性質を持つ関手と自然変換との間に、一意な、合成則を満たす自然変換があった。
- 右Kan拡張は、左Kan拡張の自然変換の向きを逆にしたもの
普遍随伴
- わからない。というより、時間がないので、今は飛ばす。