ただのメモ

他の人に見せても良い方のメモ

"Kan拡張”について学ぶ

以前より、圏論、関手について学んだ。

それの復習をしつつ、そこから先に踏み込んでみよう。

今回の目標は”Kan拡張”を理解することである。

こちら

始めましょうか。

  • 前提知識について
  • 自然変換
    • 圏2つと、その間の関手2つ、を用意。
    • 関手から関手への自然変換
      • イメージとしては、射の族で、射について、平行四辺形則のようなものを満たす。
    • 自然変換を2つ考えると、その合成則を考えられる。
      • 垂直合成
    • 関手圏
      • 関手を対象とし、自然変換を射とする。垂直合成を射の合成とし、自然変換FからFに写す射を恒等変換とする。
    • 関手 F,G: A \rightarrow B, H: B \rightarrow Cとし、自然変換 \theta : F \rightarrow Gとすると、新たな自然変換 H \theta : A \rightarrow Cが作れる。
    • その延長上に、水平合成がある。
    • (まとめる)自然変換は関手から関手に入れ換える感じ。垂直合成が入れ換えてさらに入れ換える感じ。水平合成は、圏から圏に写して、さらに別の圏に写す時に、1段階目の関手間の自然変換と、2段階目の自然変換を合成するもの。
  • 米田
    • Hom関手
      • 2種類
        •  Hom_C (a,-): C \rightarrow Set, Hom_C (-,b) : C^{op} \rightarrow Set
        • 対象を射の塊に写し、射を射の塊間の写像に写す。そんな関手。
    • 米田埋め込み
      • 関手 y: C \rightarrow Set^{C^{op}}
      • 圏から、圏の射の向きを入れ換えた圏から射の塊の圏に写す関手に、写す写像
        • 圏からHom関手の集合に写す。
    • 米田の補題
      • Cを圏、 a \in Cを対象、 P: C^{op} \rightarrow Setを関手とする。
      • 全単射 \phi_{a,P} : Hom_{\hat{C}}(y(a), P) \rightarrow P(a)が存在。
      • なんとなく分かったような、、、。
        • Hom関手を対象とする圏において、そのあるaに対応するHom関手と別のHom関手の間の射の集合と、Hom関手によって写されるaに対応づけられた射の集合を対象とする圏
        • つまり、圏の対象とHom関手との間に一対一関係がある
    • 圏の対象が同型
      • Hom(a,x)とHom(b,x)に対応があると、aとbにも対応が取れる。(同型)
      • 双対性
    • つまり、圏の対象が同型かが、射の集合と密接に関わっている。
      • 対象を見ることと、関係性を見ること。
  • コンマ圏
    • C0、C1、Dを圏とし、 K: C_0 \rightarrow D, L: C_1 \rightarrow Dを関手とする。
    • C0の対象とC1の対象と圏D内での射をひとかたまりの「対象」とする
    • C0の射とC1の射で、さっきの「対象」とべつの「対象」を対応づけるものを、ひとかたまりの「射」とする。
    • この圏をコンマ圏 K \downarrow Lという。
    • ふんわり説明すると、圏を3つくっつくけたものを圏と見なした物。
  • 余極限
    • 図式
      • 関手 F : I \rightarrow C
        • Iは添え字圏
          • 添え字のついた圏なんだろうか(?)
    • 図式の余極限 <colim F, \{ \mu_i \}_{i \in I }>
      • colim FはCの対象
      • 各μiは、Cの射で、 \mu_i : Fi \rightarrow colim F
      • Iの射 f: i \rightarrow jについて、 \mu_j \circ Ff= \mu_i
      • ここまで、同じ条件を満たす、Cの対象と射の組があったら、Cの射が一意に存在して(colim Fからその対象に写す、射が存在して)、合成則を満たす。
        • 要はベクトルを2つ足したらでかいベクトルになる、みたいなイメージがある。
  • 随伴
  • Kan拡張
    • C, D, Uを圏、F, EをCからそれぞれD, Uに写す関手とする。
    • Fに沿ったEの左Kan拡張
      • 関手と自然変換の組
    • こういうことかな、と思ったので、書く
      • 先程、出てきた余極限では、対象と射(正確には射の集合)の組を考えた。
        • そして、似たような性質を持つ対象と射の組との間に、一意な、合成則を満たす射があった。
      • 一方で左Kan拡張では、関手と自然変換の組を考えた。(自然変換は、関手を対象と見なした時の射のようなもの)
        • そして、似たような性質を持つ関手と自然変換との間に、一意な、合成則を満たす自然変換があった。
    • 右Kan拡張は、左Kan拡張の自然変換の向きを逆にしたもの
  • 普遍随伴
    • わからない。というより、時間がないので、今は飛ばす。

考え方を掴めた気がするので、今後圏論的な考え方を応用していきたい。

バイバイ!