ただのメモ

他の人に見せても良い方のメモ

代数としての言語

外国の言語を勉強している。

次に勉強する言語によらず、効率的な学習を実現したい。

すると、言語に共通する何らかの性質達を捕まえたい。

そこで考え事と調べ物をしていたら、代数としての言語に、行き着いた。

今回はそれを学ぶ。

始めましょうか。

  • はじめに
    • 最初
      • モンタギュの統語理論
        • 可能な表現の全体は1つの代数系を成す
        • 統語範疇
          • 代数系を集合とした時の部分集合
        • 統語規則
          • 統語範疇の生成原理
          • 規則
        • 翻訳
        • 解釈
        • 解釈と翻訳の結合
          • 解釈とすることが可能
          • (これ本当は翻訳では???)
    • 「定式化が済めば後はルーチンワーク
      • 基盤を作る
      • 後はマニュアルに従う
  • 代数系、準同型
    • モンタギュの普遍文法(UG)
      • Universal Grammer
    • Signature
      • 集合 \Omegaと、関数 \nu : \Omega \rightarrow \mathbb{N}+{0}の順序対Σ
        • この対の集合の元を、関数記号、関数の元を、関数記号の次数という
        • 次数0の時、関数記号を定数記号という。
      • 集合(要素の列)と(要素と値の)対の集合(対を要素とする列)
    • 代数系
      • 3組 \mathbb{A} = (A, \Sigma, \rho)
      • Aは集合、Σはシグニチャ
      • ρはΩの記号ωに、A上のn因数演算を割り当てる関数
        •  n = \nu (\omega )
        • +なら2、というのは、2つの因数を取りますよ、ということ。
        • Aの要素に割り当てる、というイメージか
    • ブール代数
      • TとFからなる集合
      • 論理和論理積、否定、含意(→)を演算記号とする
    • 文字列の結合代数
      • アルファベットの文字列の全て、と、空列からなる集合
        • 文字列はそれ単体だが、空列は文字列か空列の間にあってこその空列。
      • 返されるもの(こと)は、文字列か空列となる。
      • 自由単位半群
        • 半群
          • 二項演算
          • 任意の元について、結合律が成立
        • 単位半群
          • 追加で、単位元がある
          • (空列に対応)
        • 自由半群
          • 非可換な積を持つ半群で、他の簡単な表し方が無いもの
          • (文字列なら、その並び以上に簡単な表現はない)
    • 準同型
      • シグニチャ、Σ代数系2つ、AとB 
      • 関数 h : A \rightarrow B
      • 台の要素を対応させつつ、演算を対応させても、演算記号によらず、結果は変わりません。
      • わかりやすい言い方を試みる
        • 今回、台という集合から要素をn個取り出し、演算記号なるωという記号に応じて、n個の要素を、1個の台上の要素に写す、関数がある。
        • その枠組みを2つ考える。枠組みを代数系という。
        • その時、とある関数を考える。その関数の性質は以下の通りとする。
          • 片方の台から他方の台に写す
          • 片方のn因数演算から他方のそれに写す
        • このとき、2つの代数系の間で、等式が成り立つ。
      • 追加で、自己同型写像も考えられる。当たり前。
      • 2つの準同型があると、結合も準同型
        • 結合律が成立
      • 準同型写像からなる群を考えられそう。
        • 何を同じとみなすか。
        • どこを注目するか。
          • いつなにをどのように見るか。
    • 同型
    • 部分代数
      • 他方の集合を片方の集合が含んでいるとき、かつ、演算が制限されている(定義域、値域の話)
      • シグニチャΣ、変数の集合X
        •  X \cap \Omega = \{ \}
      • 項に関する事
        • 各元は項
        •  \omega \in \Omega n \geq 0次の関数記号で t_1, \cdots , t_nが項なら \omega (t_1, \cdots, t_n)は項
        • 具体例:リンゴ、バナナは項。
        • リンゴまたはバナナも項
          • なぜなら、またはは2個の項を取るから
    • 解釈
      • 代数系(A、Σ、ρ)
        • 変数割り当て関数 \eta : X \rightarrow A
      •  t \in T(\Sigma , X ) の解釈 ||t||_{\rho, \eta} \in A
        • 1, 項が変数なら、 ||t||_{\rho, \eta} = \eta (t)
        • 2,  \omega (t_1, \cdots, t_n)ならば、 ||t||_{\rho, \eta} = \rho (\omega ) ( ||t_i||_{\rho, \eta})
      • 変数を項と考えると、変数をいくつも集めて、それで関数に掛けても写されたものは変数、つまり項(変わりうるもの)
      • 変数はそのまま割り当て
      • 項を合体させるタイプのものは、各変数を割り当ててかた、合体するタイプ
      • 定数記号も含んでいる。
        • 具体例:素晴らしい(n=0)
    • 統語代数
      •  \Sigma = ( \Omega, \nu )  
      • AをΣ代数とする。
      • 最後の値が一致するなら、演算記号と引数の組が合致する。
        • もちろん引数の数も
      • ρ(ω)が単射且つ image(\omega ) \cap image(\omega^{'} ) = \{\}
      • 演算式での表現が一意
    • Herbrand宇宙
      • Herbrand代数
    • 定数関数、射影、関数結合、
    • 多項式演算
      • 全ての定数関数、射影、 \rho (\omega ) を含む、関数結合に関して閉じている。
      • 代数系Aに関してPoly(A)が存在する。
  • 言語、普遍文法、解釈、翻訳
    • 言語
      • 無曖昧言語
        • シグニチャ
        • ∑統語代数系(A,∑,ρ)
          • Aは項の集合、∑は記号、ρはまとめる関数みたいなもの
          • 統語代数は一意に表せるもの

wakaranai

∑統語代数系が、Aの要素の塊から、∑の記号と、ρの関数をかませると、Aの要素に写してくれるもので、一意になっていることをわかったので、よしとする。

バイバイ!