代数としての言語 - 医科学(仮)

外国の言語を勉強している。

次に勉強する言語によらず、効率的な学習を実現したい。

すると、言語に共通する何らかの性質達を捕まえたい。

そこで考え事と調べ物をしていたら、代数としての言語に、行き着いた。

今回はそれを学ぶ。

こちら。

始めましょうか。

はじめに
- 最初
  - モンタギュの統語理論
    - 可能な表現の全体は1つの代数系を成す
    - 統語範疇
      - 代数系を集合とした時の部分集合
    - 統語規則
      - 統語範疇の生成原理
      - 規則
    - 翻訳
      - 代数系の間の写像
    - 解釈
      - 同じ種類の代数系の間の準同型
    - 解釈と翻訳の結合
      - 解釈とすることが可能
      - （これ本当は翻訳では？？？）
- 「定式化が済めば後はルーチンワーク」
  - 基盤を作る
  - 後はマニュアルに従う
代数系、準同型
- モンタギュの普遍文法（UG）
  - Universal Grammer
- Signature
  - 集合と、関数の順序対Σ
    - この対の集合の元を、関数記号、関数の元を、関数記号の次数という
    - 次数0の時、関数記号を定数記号という。
  - 集合（要素の列）と（要素と値の）対の集合（対を要素とする列）
- 代数系
  - 3組 $\mathbb{A} = (A, \Sigma, \rho)$
  - Aは集合、Σはシグニチャ
  - ρはΩの記号ωに、A上のn因数演算を割り当てる関数
    - $n = \nu (\omega )$
    - +なら2、というのは、2つの因数を取りますよ、ということ。
    - Aの要素に割り当てる、というイメージか
- ブール代数
  - TとFからなる集合
  - 論理和、論理積、否定、含意（→）を演算記号とする
- 文字列の結合代数
  - アルファベットの文字列の全て、と、空列からなる集合
    - 文字列はそれ単体だが、空列は文字列か空列の間にあってこその空列。
  - 返されるもの（こと）は、文字列か空列となる。
  - 自由単位半群
    - 半群
      - 二項演算
      - 任意の元について、結合律が成立
    - 単位半群
      - 追加で、単位元がある
      - （空列に対応）
    - 自由半群
      - 非可換な積を持つ半群で、他の簡単な表し方が無いもの
      - （文字列なら、その並び以上に簡単な表現はない）
- 準同型
  - シグニチャ、Σ代数系2つ、AとB
  - 関数 $h : A \rightarrow B$
  - 台の要素を対応させつつ、演算を対応させても、演算記号によらず、結果は変わりません。
  - わかりやすい言い方を試みる
    - 今回、台という集合から要素をn個取り出し、演算記号なるωという記号に応じて、n個の要素を、1個の台上の要素に写す、関数がある。
    - その枠組みを2つ考える。枠組みを代数系という。
    - その時、とある関数を考える。その関数の性質は以下の通りとする。
      - 片方の台から他方の台に写す
      - 片方のn因数演算から他方のそれに写す
    - このとき、2つの代数系の間で、等式が成り立つ。
  - 追加で、自己同型写像も考えられる。当たり前。
  - 2つの準同型があると、結合も準同型
    - 結合律が成立
  - 準同型写像からなる群を考えられそう。
    - 何を同じとみなすか。
    - どこを注目するか。
      - いつなにをどのように見るか。
- 同型
  - 準同形写像が全単射のとき
- 部分代数
  - 他方の集合を片方の集合が含んでいるとき、かつ、演算が制限されている（定義域、値域の話）
- 項
  - シグニチャΣ、変数の集合X
    - $X \cap \Omega = \{ \}$
  - 項に関する事
    - 各元は項
    - $\omega \in \Omega$ が $n \geq 0$ 次の関数記号で $t_1, \cdots , t_n$ が項なら $\omega (t_1, \cdots, t_n)$ は項
    - 具体例：リンゴ、バナナは項。
    - リンゴまたはバナナも項
      - なぜなら、またはは2個の項を取るから
- 解釈
  - 代数系（A、Σ、ρ）
    - 変数割り当て関数 $\eta : X \rightarrow A$
  - 項の解釈
    - 1, 項が変数なら、 $||t||_{\rho, \eta} = \eta (t)$
    - 2, $\omega (t_1, \cdots, t_n)$ ならば、 $||t||_{\rho, \eta} = \rho (\omega ) ( ||t_i||_{\rho, \eta})$
  - 変数を項と考えると、変数をいくつも集めて、それで関数に掛けても写されたものは変数、つまり項（変わりうるもの）
  - 変数はそのまま割り当て
  - 項を合体させるタイプのものは、各変数を割り当ててかた、合体するタイプ
  - 定数記号も含んでいる。
    - 具体例：素晴らしい（ｎ＝０）
- 統語代数
  - $\Sigma = ( \Omega, \nu )$
  - AをΣ代数とする。
  - 最後の値が一致するなら、演算記号と引数の組が合致する。
    - もちろん引数の数も
  - ρ(ω)が単射且つ $image(\omega ) \cap image(\omega^{'} ) = \{\}$
  - 演算式での表現が一意
- Herbrand宇宙
  - Herbrand代数
- 定数関数、射影、関数結合、
- 多項式演算
  - 全ての定数関数、射影、 $\rho (\omega )$ を含む、関数結合に関して閉じている。
  - ∑代数系Ａに関してＰｏｌｙ(Ａ)が存在する。
言語、普遍文法、解釈、翻訳
- 言語
  - 無曖昧言語
    - シグニチャ
    - ∑統語代数系(A,∑,ρ)
      - Aは項の集合、∑は記号、ρはまとめる関数みたいなもの
      - 統語代数は一意に表せるもの