ただのメモ

他の人に見せても良い方のメモ

ヤング図形、鉤長公式、ロビンソン・シェンステッド対応、山内盤、

以前ヤング図形についてまとめた。

その続編。

始めましょうか。

  • ヤング図形
  • 鉤長公式
    • 標準盤
      • 1からnの自然数を1つずつ書き込み、どの列もどの行も単調増加する、ようなもの
      •  3+2 = 5なら、5個の標準盤
      • 鉤長公式(フック長公式)
        •  f_\lambda = \frac{n!}{\prod_{x \in \lambda} h_x}
        • 箱ごとに、鉤という図形が対応する。
          • それが、角になるような、鉤型の図形
          • その鉤の中の箱の個数を数える。
            • 鉤長
        • 書き込み方が分子、各鉤の中でその箱が一番小さい数が入っている確率は、鉤長分の1。
          • 全箱を(独立に)考慮すると、鉤長公式が導出出来る。 
  • ロビンソン・シェンステッド対応
    • 分割の仕方はいろいろ。
    • しかし、全ての分割を考えると面白い性質がある。
      •  \Sigma_{\lambda} f_\lambda^2 = n!
    • ロビンソン・シェンステッド対応
      • 1からnの順列ω
      • 形が同じで箱の数がnの標準盤の組(P,Q)
      • 押し出し
        • 順列からヤング図形を構成する。
        • P:ヤング図形に相異なる自然数を書き込み、行と列が狭義単調増加列(箱のないヤング図形も含む)
        • y:Pにない自然数
        • 手法
          • yがPの1行目の右端に足しても行けるなら、そうする(書き込んだ箱を足す)
          • 無理なら、1行目の、yよりギリギリ大きい数と交換する。
            • そして、2行目以降に同じ操作をする。(再帰的)
        • Q:Pを構成する際に、箱を足す。その、足す順番を書き込んだヤング図形
      • 順列ω→(P(ω), Q(ω))が一対一対応をする。
        • 順列の情報を、ヤング図形の完成形と箱の作った順番から、再構成出来る(情報量が同じ)
      • n!の順列と、ヤング図形のパターンが、同数
  • 山内盤
    • λ、μ、ν ヤング図形
    • 形がν\λで、内容がμの山内盤
      • 差集合v\λへの1以上自然数の書き込み、
        • どの行も数が広義単調増加
        • どの列も狭義単調増加
        • 数iを書き込まれた数が、μi個
        • 行語が山内語
          • 行語
            • ν\λの箱に書かれている数を、左から右に、下から上に読んで得られる数
          • 山内語
            • 数の有限列
            • 任意の自然数k
              • 右端からk個の数について、小さい数ほど沢山登場する。
    • リトルウッド・リチャードソン数
      • 山内盤の個数
    • シューア関数
      • シューア多項式こちら
      •  s_\lambda = \Sigma_{T \in SST(\lambda)} x^T
        • SST(λ)は、形がλの、半標準盤の集合
          • 形がλのヤング図形
          • 1以上の自然数が書き込まれ、
          • どの行も広義単調増加
          • どの列も狭義単調増加
            • ここは山内盤と共通
        •  x^T = \prod_{i \geq 1 } x_i^{Tの中のiの個数} 
    • 定理
      •  \lambda \vdash m , \mu \vdash n
      •  s_\lambda s_\mu = \Sigma_{\mu \vdash (m+n) } c_{\lambda, \mu}^\nu s_\nu
  • 最近の話題
    • サチュレーション予想
      • 分割λ、μ、νについて2つが同値
        • 形がν\λで内容がμの山内盤が存在
        • 任意の自然数nについて、形がnν\nλで無いようがnμの山内盤が存在。
      • ベレンシュタイン・ゼレビンスキー錐
        • 蜂巣模型
      • フルトン予想
  • パズルと数学、そしてヤング図形