Algebraic Integer, sympy

I want to know various field of mathematical concept in order to make new perspective on medicine.

 

  • こちらをまとめる。
  • 最大次数の係数が1で、他が整数係数のある多項式の根で、その根がその多項式よりも次数の低い式を満足しないとき、その根は、「次数nの代数的整数」と呼ばれる。
  • 代数的整数は、代数的数の特別版
    • 条件がついた。
      • どんな？
      • 多項式の最高次の係数が1である、という
    • 代数的数について。こちら。
      • 定義
        • 整数係数（有理数でも同値）の非ゼロ多項式方程式で、ある根が、その方程式を満たし、かつ、次数n未満の似たような方程式を満たさないとき、次数nの代数的数という。
      • 他の単語、分類
        • 代数的でない数は、超越的という。
        • 最高次数が１なら、代数的整数という。
      • 性質
        • 実数でも虚数でもいい。
        • 代数的数が係数の多項式の任意の根は、代数的数！
          • 閉じている
        • 代数的数が代数方程式を満たす時、その共役する数も同じ方程式を満たす。
    • Radical Integerについて。こちら。
      • radical integerとは、整数を加減乗、と、ルートを取る操作で閉じた操作で手に入る数。
      • Radical Integerは、代数的数の部分環である。
        • 部分環とは、環の部分集合で、掛け算（第二演算、逆元関係ない方）で閉じているもの。こちら。
          • 例：3の倍数全体は、整数全体の部分環
        • 3次の代数的数で、Radical integerではないものが存在する。
    • 代数的数の和か積は、代数的数。
      • 閉じている。
    • Abelの不可能定理
      • 5次以上の代数的数には、有理数の加減乗除＋ルートで表せないものがある。
    • ガウス整数
      • \mathbb{Q}(i)の代数的数。
      • z^2 - 2az + a^2 +b^2  = 0の根
  • 代数的数については分かった。
  • 後は、これをお絵描きして体験する。こちらとこちらを参考にする。
import sympy
from sympy import degree
from sympy.abc import x
expr = 2*x**5 + 4*x**4 + 3*x**2 + 1
degree(2*x**5 + 4*x**4 + 3*x**2 + 1)
#5 degree of function
sympy.LC(expr)
#2 leading coefficient
sympy.LM(expr)
# x**5 leading monomial
sympy.LT(expr)
# 2x**5 leadingterm
sympy.discriminant(expr)
# 200352
#sympy.monic(expr)
sympy.count_roots(expr)
#1 only real numnber.
sympy.real_roots(expr)
#解けてない
sympy.nroots(expr, n = 22)
#[-2.301112521878891658331,
# -0.1827976075126913763677 - 0.624317345744523270158*I,
# -0.1827976075126913763677 + 0.624317345744523270158*I,
# 0.3333538684521372055331 - 0.6342925491449497326945*I,
# 0.3333538684521372055331 + 0.6342925491449497326945*I]
#やはり1個解がある。
sympy.construct_domain(expr,extension=True)
#ZZ[x], expr
#多項式環が返ってくる

Bye bye!