ただのメモ

他の人に見せても良い方のメモ

Schwarzschild計量とGraviPy

まず、体力をつける。その後でおえかきしよう。

  • Schwarzschild metric
    • アインシュタイン場方程式の解で、球状の物体の外の重力場を表す。
    • 物体の荷電、角運動量、宇宙定数が全て零という縛りの下。
    • ゆっくり回転しているものの近似に使える。太陽と地球を含む。
    • Birkhoff’s theoremによると、Schwarzschild metricは最も一般的な、球対称な、Vacuum solutionだ。
      • Birkhoff’s theorem、Vacuum solutionが未知のワードなので、それを見ていく。
      • Birkhoffの定理の説明に、Vacuum solutionが出てきたので、Vacuum solutionを先に調べる。
  • Vacuum solution
    • Vacuumは真空。 
    • Lorentzian manifoldで、Einstein tensorがあらゆる点で等しくVanishするもの。
    • Einstein場方程式によると、これは、Stress-energyテンソルもまた常にvanishする。そのため、重力場がない。
    • Einstein tensorがVanishするのは、Ricci tensorが消えるときだけ。
      • これは、2つの(2階の)テンソルが、互いに、trace reverseの関係にあるかららしい。
      •  G_{ab} = R_{ab} - \frac{tr(R)}{2} g_{ab}
      •  R_{ab} = G_{ab} - \frac{tr(G)}{2} g_{ab}
    • 確かに、片方が0なら、もう片方も0になる。
    • ここで、わかったことは、Ricciテンソルも、Einsteinテンソルも変換を施しただけ、ということだ。
  • 次は、Birkhoff’s theorem
    • どんな球対称な真空場方程式の解は、静的で漸近的に平坦でなければならない、という定理。
    • これは、回転していない、球対称な物体の外の解は、Schwarzschild metricによって与えられなければならない、というもの。
    • 直観的解釈としては、球対称重力場は、原点の質量のある物体によって生み出される、というもの。違うところにあったら、球対称性は乱される。
    • 漸近的に平坦、とは、長い距離で、重力場はなくなっていく、という言葉。
  • Schwarzchild metricに戻る。
    • 詳しいことは、こちら
    • Schwarzschild metricの求め方。
      • 遠方での、ニュートン理論のふるまいとの整合性をとる
    • キリングベクトルの話が出てくるが、これはまた今度。
  • 重力による時間遅れを説明できる。
    • dt 以外は0として、[tex: d \tau  = (1- \frac{2GM}
      {c^2r})^{\frac{1}{2}}dt]
    • なので、固有時間τの進み方より、無限遠方での時間tの方が進みがはやい。
    • なので、恒星から出た光が、無限遠方に届くとき、波長の長いものになる。(周期が長い光になる)
    • これが重力赤方偏移
  • これと関連した話で、東京スカイツリーの展望台では、時計の進みがはやい、ということがある。同じ原理だ。こちら
  • Ricci tensorについて
    • Ricci curvature tensorは、歪んだリーマン多様体(リーマン計量が与えられた多様体)上の測地球の体積が、ユークリッド空間上の球体からどれだけずれるかを表す量。
    •  R(X, Y)Z = \nabla_X \nabla_Y Z - \nabla_Y \nabla_X Z - \nabla_{[X, Y}Z]
    • ここでの∇は、Levi Civita接続
    • また、Ricci計量は、クリストフェル記号を使って得られる。
  • クリストッフェル記号について

こちらの記事を見つつ、まずは、GraviPyを使ってみる。

from gravipy import * 
from gravipy import tensorial as ten
from sympy import *
import inspect
t, r, theta, phi, M = symbols('t, r, theta, phi, M')
x = ten.Coordinates('\chi',[t, r, theta, phi])
Metric = diag((1 -2* M/r), -1/(1 -2*M/r), -r**2, -r**2*sin(theta)**2)
g = ten.MetricTensor('g' , x, Metric)
g(ten.All, ten.All)
Ga = ten.Christoffel('Ga', g)
Ga(ten.All, ten.All, ten.All)
Ri = ten.Ricci('Ri', g)
G = ten.Einstein('G', Ri)
G(ten.All, ten.All)

Schwarzschild metric、そして、クリストッフェル記号の関係。そして、Ricci計量との関係、Einstein計量との関係まで、追えた。

バイバイ!