Schwarzschild計量とGraviPy

まず、体力をつける。その後でおえかきしよう。

Schwarzschild metric
- アインシュタイン場方程式の解で、球状の物体の外の重力場を表す。
- 物体の荷電、角運動量、宇宙定数が全て零という縛りの下。
- ゆっくり回転しているものの近似に使える。太陽と地球を含む。
- Birkhoff’s theoremによると、Schwarzschild metricは最も一般的な、球対称な、Vacuum solutionだ。
  - Birkhoff’s theorem、Vacuum solutionが未知のワードなので、それを見ていく。
  - Birkhoffの定理の説明に、Vacuum solutionが出てきたので、Vacuum solutionを先に調べる。
Vacuum solution
- Vacuumは真空。
- Lorentzian manifoldで、Einstein tensorがあらゆる点で等しくVanishするもの。
- Einstein場方程式によると、これは、Stress-energyテンソルもまた常にvanishする。そのため、重力場がない。
- Einstein tensorがVanishするのは、Ricci tensorが消えるときだけ。
  - これは、２つの(2階の)テンソルが、互いに、trace reverseの関係にあるかららしい。
  - $G_{ab} = R_{ab} - \frac{tr(R)}{2} g_{ab}$
  - $R_{ab} = G_{ab} - \frac{tr(G)}{2} g_{ab}$
- 確かに、片方が0なら、もう片方も0になる。
- ここで、わかったことは、Ricciテンソルも、Einsteinテンソルも変換を施しただけ、ということだ。
次は、Birkhoff’s theorem
- どんな球対称な真空場方程式の解は、静的で漸近的に平坦でなければならない、という定理。
- これは、回転していない、球対称な物体の外の解は、Schwarzschild metricによって与えられなければならない、というもの。
- 直観的解釈としては、球対称重力場は、原点の質量のある物体によって生み出される、というもの。違うところにあったら、球対称性は乱される。
- 漸近的に平坦、とは、長い距離で、重力場はなくなっていく、という言葉。
Schwarzchild metricに戻る。
- 詳しいことは、こちら。
- Schwarzschild metricの求め方。
  - 遠方での、ニュートン理論のふるまいとの整合性をとる
- キリングベクトルの話が出てくるが、これはまた今度。
重力による時間遅れを説明できる。
- dt 以外は0として、[tex: d \tau = (1- \frac{2GM}
  {c^2r})^{\frac{1}{2}}dt]
- なので、固有時間τの進み方より、無限遠方での時間tの方が進みがはやい。
- なので、恒星から出た光が、無限遠方に届くとき、波長の長いものになる。（周期が長い光になる）
- これが重力赤方偏移
これと関連した話で、東京スカイツリーの展望台では、時計の進みがはやい、ということがある。同じ原理だ。こちら。
Ricci tensorについて
- Ricci curvature tensorは、歪んだリーマン多様体（リーマン計量が与えられた多様体）上の測地球の体積が、ユークリッド空間上の球体からどれだけずれるかを表す量。
  - 可微分多様体上のリーマン計量とは、内積 $g_p : T_p M ×T_p M \rightarrow \mathbb{R}$ の族
- $R(X, Y)Z = \nabla_X \nabla_Y Z - \nabla_Y \nabla_X Z - \nabla_{[X, Y$ }Z]
- ここでの∇は、Levi Civita接続
- また、Ricci計量は、クリストフェル記号を使って得られる。
クリストッフェル記号について
- リーマン幾何学において、n次元多様体において、空間上にある曲線がある。その曲線の長さを積分する。
- その長さは、座標（といいつつ関数）の関数になっている。つまり、長さは汎関数。
- 汎関数が得られたら、その変分を0にするような、最適なものが、オイラー・ラグランジュの微分方程式を使えば、見つかる。
  - 汎関数微分はこちら。
  - 似た内容で、変分原理がある。こちら。
    - 光なら、フェルマーの原理。電磁気ならディクリレの原理。ほかでは、最小作用の原理。
- それが、測地線の微分方程式。
- ここに、クリストッフェル記号（Christoffel symbol）が出てくる。

こちらの記事を見つつ、まずは、GraviPyを使ってみる。

from gravipy import * 
from gravipy import tensorial as ten
from sympy import *
import inspect
t, r, theta, phi, M = symbols('t, r, theta, phi, M')
x = ten.Coordinates('\chi',[t, r, theta, phi])
Metric = diag((1 -2* M/r), -1/(1 -2*M/r), -r**2, -r**2*sin(theta)**2)
g = ten.MetricTensor('g' , x, Metric)
g(ten.All, ten.All)
Ga = ten.Christoffel('Ga', g)
Ga(ten.All, ten.All, ten.All)
Ri = ten.Ricci('Ri', g)
G = ten.Einstein('G', Ri)
G(ten.All, ten.All)

Schwarzschild metric、そして、クリストッフェル記号の関係。そして、Ricci計量との関係、Einstein計量との関係まで、追えた。

バイバイ！

ただのメモ

他の人に見せても良い方のメモ

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