相対性理論に入門！ - 医学は数学したい

相対性理論を使ってみたい。

まずは、入門的なこの記事から入る。

特殊相対性理論

特殊相対性原理とローレンツ変換

4次元時空の座標 $x^{\mu} = (t, x,y,z)$
光速度不変 $c$
世界間隔とMinkowski計量。世界間隔は、4次元座標の差のことで、あなたの世界とこちらの世界では、これだけ離れてますよ、というニュアンス。世界間隔 $ds$ について、 $ds^2 = -(\mathbb{c}dt)^2 + dx^2+dy^2 +dz^2 = \Sigma_{\mu, \nu=0}^3 g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu$ 。 $g_{\mu \nu}$ をMinkowski計量という。
光円錐。 $ds^2 = 0$ が成立するような4次元中の円錐。光が1点から発せられた時の軌跡。光の経路。
因果性。光より早い物質はない（ $ds^2 ＜0$ ）から、光円錐の外部には生けない。よって、光円錐は因果的未来と過去と、因果的に無理なところの境界。
世界間隔の不変性。
特殊相対性原理。あらゆる慣性系において、物理法則は変化しない。特に、光の伝播速度はどの慣性系から見ても一定の値 $c$ をとる。これを、光速度不変の原理という。
光の経路では世界間隔は0となる。それは、別の慣性系に移っても一緒。
静止系から慣性系に移る座標変換は一次変換で表される。 $dx^\mu = \Lambda_{'\mu}^\mu (v) dx^{'\mu}$
すると、世界間隔も移せて、 $ds^2 = g_{\mu \nu} \Lambda_{'\mu}^\mu (v)\Lambda_{'\nu}^\nu (v) dx^{'\mu}dx^{'\nu}$ 。これも0なので、相対性より、逆変換したらもとの $ds^2$ に戻るはずなので、 $ds^2 = C(|v|)C(|-v|)ds^{'2}$ なので、 $C(|v|) = 1$ より、世界間隔は常に一定。
ローレンツ変換。 $icdt, dx$ に2分して考えると、世界間隔は一定より、等長に保つ変換は、2次元平面での回転と平行移動である。回転移動だが、片方は虚数が含まれるため、三角関数が、双曲線関数となった。
ローレンツ変換の解釈。 $y,z$ を無視する。 $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}$ として、 $dt = \gamma (dt^{'} + \frac{v}{c^2} dx^{'}), dx = \gamma (dx^{'} + v dt^{'})$ となる。
動く時計は遅く見えるのは、静止系の時計はγ倍の流れをするから。
運動する物体のローレンツ短縮。動いている物は、γ倍縮んで見える。
速度の合成則。 $V = \frac{v+v^{'}}{1 + \frac{vv^{'}}{c^2}}$

相対論的力学

粒子の世界線と固有時間。ある粒子が運動する経路を世界線という。そのある粒子が時計だとして、その時計の計る時間を固有時間という。動く時計が遅く進む、ということも思い出そう。（ローレンツ変換）
4元速度、4元運動量。 $u^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau}$ を定義して、4元速度という。固有時間で計った速度のこと。動いている物体の速度は、こっちから見た座標を向こうの時間で微分することで、合わせる、というわけ。
$u^2 = g_{\mu\nu}u^\mu u^\nu =-c^2$
4元速度は、 $u^i = \gamma v^i$ のように、非相対論的速度に対応する。
4元速度に静止質量を掛けた量を、 $p^{\mu} = (mc\frac{dt(\tau)}{d\tau}, m\frac{dx^i(\tau)}{d\tau})$ を4元運動量という。
時間成分は、相対論的エネルギーの定数倍となる。つまり、 $p^t = \gamma mc = \frac{E}{c}$
よって、 $E^2 = (mc^2)^2 +(c p^i)^2$ 。エネルギーと、静止質量エネルギーと運動量（空間成分）の関係。
粒子の分裂では、4元運動量の保存則が成立する。

一般相対性理論

特殊相対論とは、ある物理量を異なる慣性系で測定したときの変換則を与える理論。

一方で、一般相対論とは、ある物理量を異なる座標系で測定した時の変換則を与える理論。

非慣性系で起こる慣性力と重力を同一視することで、一般相対論は重力を扱う理論になる。

ここで、Minkowski計量を $\eta_{\mu\nu} = Diag(-1,1,1,1)$ とかく。

一般相対性原理

一般相対性原理とは、あらゆる座標系において、物理法則は変化しない。あらゆる座標系なので、ある慣性系に対して加速度運動している非慣性系も含まれる。（相対論的に考えるのは、「誰から見て」、どうか、というのが大事）
等価原理とは、局所的には、加速度運動による見かけの力で重力を打ち消すことが出来る。
新しい座標系がもとの座標系の任意関数で与えられるような座標変換を施しても、物理法則は変換前と同じ形。これは、テンソルと関係がある。（共変的とかの話もある）
等価原理は、非慣性系での物理現象を重力を結びつけるため（慣性力と重力を同一視）

リーマン幾何学、共変微分

計量。世界間隔。計量は、各軸の間での内積のようなもの。（各点に内積が張り付いてるイメージで）。世界間隔 $ds^2 = \eta_{\mu\nu} dx^{\mu} dx^{\nu} = g_{\mu\nu} dx^{'\mu} dx^{'\nu}$ 。Minkowski計量と計量は違う。
座標変換で $ds^2$ は変化しないと仮定する。計量の成分が、座標の任意関数で与えられる。計量gは、歪んだ時空を表す。
一般化された計量と世界間隔についても、光の伝播面や因果性が成立する。光の伝播面は、 $ds^2= 0$ を表す面で与える。
スカラー、ベクトル、テンソル。一般座標系での物理量の表し方を導入する必要が出てきた。物理量は関数、ベクトル量、計量などで表せる。それらを一般的な座標について定義する。
座標基底ベクトル $\partial/\partial x^\mu$ と、双対基底 $dx^\mu$ 。これらについて、それぞれ、 $\frac{\partial}{\partial x^{\mu}} = \frac{\partial x^{'\mu}}{\partial x^{\nu}}\frac{\partial}{\partial x^{'\nu}}, \\ dx^\mu = \frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{'\nu}} dx^{'\nu}$ となる。
座標基底ベクトルを用いてベクトルを表すか、双対基底を用いてベクトルを表すか。前者の係数が、反変ベクトル。後者を共変ベクトルという。
座標変換をしても、基底の変換の影響を受けない、振る舞いをするのをスカラーという。（スカラーは座標の取り方によらない！）
ベクトルを一般化したものとして、テンソルがある。(p,q)-テンソル。計量テンソルは、対称(0,2)-テンソルの1つ。 $g = g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu$
計量テンソルを使えば、テンソルの共変部分と反変部分との間の変換則を与えられる。
共変微分。物理方程式を書くためには、物理量の微分をとる必要がある。物理量をテンソルで表すと、微分した量もテンソルであってほしい。スカラーは座標変換しても変わらないから、共変ベクトル。 $\frac{\partial \phi (x)}{\partial x^\mu} = \frac{\partial x^{'\nu}}{\partial x^\mu}\frac{\partial \phi (x^{'})}{\partial x^{'\nu}}$ である。
一方でベクトルは座標変換で変換係数がかかるから、ベクトルを偏微分したら、余分な項が出て（掛け算の微分したら2つ項が出るみたいな）、テンソルの変換則を満たさなくなって困る。
なので、ベクトルを一回違う場所まで平行移動してから、差をとっていく。すると、共変微分 $\nabla_\mu V_\nu = \frac{\partial V_\nu}{\partial x^\mu} - \Gamma_{\nu\mu}^\rho V_\rho$ とかける。Γはクリストッフェル記号という係数で（平行移動分の係数）
共変微分や平行移動の性質として、1）スカラーの2階共変微分は交換でき、2）スカラーの共変微分は偏微分と一致し、3）平行移動によってノルムが保存する。
ここで、クリストッフェル記号は、計量で表せ、 $\Gamma_{\mu\nu}^\rho = \frac{1}{2} g^{\rho \sigma} (\partial_\mu g_{\nu\sigma} +\partial_\nu g_{\mu\sigma} -\partial_\sigma g_{\mu\nu}$ 。また、 $\nabla_\rho g_{\mu\nu} = 0$
測地線方程式。
- 外力のかかっていない粒子が計量（時空間に張り付いている、距離と角度を定義する、歪んだ物差しのようなもの）のもとで運動する時の経路。
時空曲率とアインシュタイン方程式。
- リーマンテンソルは、背景時空のゆがみと、それに起因して生じたベクトルの平行移動後のずれを表す。
アインシュタイン方程式。
- $G_{\mu \nu} = 8 \pi GT_{\mu \nu}$

後半がぱっとわからなかった（イメージが持てなかった）ので、微分幾何学も含めて、今度お絵かきする。

バイバイ！