ただのメモ

他の人に見せても良い方のメモ

Planar Floquet Code

こちらのペイパーをまとめる。

  • 誤り訂正量子計算機を作りたい。
  • 理論的なやり方と物理実験のギャップが課題。
  • その課題を解決する、"honeycomb" code (蜂の巣コード)が発明された。誤り耐性量子メモリーで、2量子ビットのパウリ測定しか使わない。
  • もし、生の2量子ビットの測定結果が得られるなら、表面コードと争える。
  • 境界や平面幾何の設計が疑問だった。それを解決した。
  • フロケコードは六角形格子でトーラスを埋めることで決めた。Kitaevの蜂の巣モデルは、一般の幾何に拡張出来る。
  • Floquetコードは2D色つき格子上に決められる。
  • 平面グラフG(V, E, F)で、境界の無い曲面で埋め尽くした、3価の面が3色で塗れるFloquetコードを考える。 n  = |V|で、種数 gの、向き付け可能な曲面なら k = 2g向き付け不可能なら k = gとなる。 dはグラフのホモロジー的に非自明な輪の最小の長さの割合である。
  • コード空間はゲージチェックが測定されることで安定化する。
  • 系にどう境界を導入するか問題。
  • ゲージチェック、Stabilizers、Inner論理作用素
  • 平面グラフG、頂点集合V、辺集合 E \subset V^2、面集合 F \subset 2^Vとする。
  • 写像 C: F \rightarrow \{R, G, B\}、色写像の辺への拡張 C: E \rightarrow \{R, G, B\}として、面以外の色に写す。言い方を変えると、面とは相補的な色に辺を塗る。
  • ゲージチェック
  • 頂点にQubitを乗せて、色をパウリ行列に対応させる。
  • 各辺にゲージチェックを定めて、 P_e = P_{v_1}^{C(e)} P_{v_2}^{C(e)}と定める。
  • 各色の辺に、各パウリ行列チェックが入る。
  • 1つ依存関係があり、\prod_{e \in E} P_e = \prod_{v \in V} X_v Y_v Z_v \propto \mathbb{1} 。なぜなら、全ての頂点は3価であるから。そして、片方の端点を数えてるから。
  • 次元を n_g = n_e -1とできる。(さっきの式が1つ自由度を減らす)
  • Stabilizers。 P_f = \prod_{v \in f} P_v^{C(f)} \propto \prod_{e \in f} P_eであり、 \prod_{f \in F} P_f = \prod_{v \in V} X_v Y_v Z_v \propto 1
  • Gauge群の中心の次元は、 n_s =n_f -1+k
  • 3価なので、 3n_v = 2n_eで、オイラー標数より、 n_v - n_e + n_f = 2 - kとなる。よって、 n_e = 3 n_f +3 k - 6
  • 論理Qubitは全く無い。

ここまで書いたが、結局、Qubit間にルールを持たせて、いずれかのQubitがノイズがかかって0 or 1が逆転しても、平面グラフ上の色わけのルールが頑健なので、気づけます!という話だ。

また気が向いたらするとしよう。

バイバイ!