Planar Floquet Code - ただのメモ

こちらのペイパーをまとめる。

誤り訂正量子計算機を作りたい。
理論的なやり方と物理実験のギャップが課題。
その課題を解決する、"honeycomb" code　（蜂の巣コード）が発明された。誤り耐性量子メモリーで、2量子ビットのパウリ測定しか使わない。
もし、生の2量子ビットの測定結果が得られるなら、表面コードと争える。
境界や平面幾何の設計が疑問だった。それを解決した。
フロケコードは六角形格子でトーラスを埋めることで決めた。Kitaevの蜂の巣モデルは、一般の幾何に拡張出来る。
Floquetコードは2D色つき格子上に決められる。
平面グラフG(V, E, F)で、境界の無い曲面で埋め尽くした、3価の面が3色で塗れるFloquetコードを考える。 $n = |V|$ で、種数 $g$ の、向き付け可能な曲面なら $k = 2g$ 向き付け不可能なら $k = g$ となる。 $d$ はグラフのホモロジー的に非自明な輪の最小の長さの割合である。
コード空間はゲージチェックが測定されることで安定化する。
系にどう境界を導入するか問題。
ゲージチェック、Stabilizers、Inner論理作用素。
平面グラフG、頂点集合 $V$ 、辺集合 $E \subset V^2$ 、面集合 $F \subset 2^V$ とする。
色写像 $C: F \rightarrow \{R, G, B\}$ 、色写像の辺への拡張 $C: E \rightarrow \{R, G, B\}$ として、面以外の色に写す。言い方を変えると、面とは相補的な色に辺を塗る。
ゲージチェック
頂点にQubitを乗せて、色をパウリ行列に対応させる。
各辺にゲージチェックを定めて、 $P_e = P_{v_1}^{C(e)} P_{v_2}^{C(e)}$ と定める。
各色の辺に、各パウリ行列チェックが入る。
1つ依存関係があり、 $\prod_{e \in E} P_e = \prod_{v \in V} X_v Y_v Z_v \propto \mathbb{1}$ 　。なぜなら、全ての頂点は3価であるから。そして、片方の端点を数えてるから。
次元を $n_g = n_e -1$ とできる。（さっきの式が1つ自由度を減らす）
Stabilizers。 $P_f = \prod_{v \in f} P_v^{C(f)} \propto \prod_{e \in f} P_e$ であり、 $\prod_{f \in F} P_f = \prod_{v \in V} X_v Y_v Z_v \propto 1$
Gauge群の中心の次元は、 $n_s =n_f -1+k$
3価なので、 $3n_v = 2n_e$ で、オイラー標数より、 $n_v - n_e + n_f = 2 - k$ となる。よって、 $n_e = 3 n_f +3 k - 6$
論理Qubitは全く無い。