ただのメモ

他の人に見せても良い方のメモ

コホモロジーの道案内

  • こちらの動画をまとめる。
  • 合同や相似。どのような解像度で観察する？不変量（合同：長さと角度、相似：角度）。相似の方が粗い解像度。同値関係は解像度。
  • 様々な解像度、同相、ホモトピー同値、、、。不変量はオイラー数。さらに洗練されると、コホモロジー、ホモロジー、ホモトピー。
  • コホモロジーとは。「空間（多様体）を、次数付きの群を対応させるもの」。長さや角度は1つの数だが、次数付きの群とすることで、値の集まりとその構造を議論できる。
  • コホモロジーお気持ちは、「空間Xの群による近似」あるいは、「空間X上の場の分類」
  • 群は1）閉じた結合率の成り立つ2項演算があり、2）単位元、3）逆元がある、集合。以前の記事を参照。
  • (\mathbb{N} , + , 0)は逆元がないので、群でないが半群である。半群から、群を作る。 \mathbb{N} ×\mathbb{N} /_{～} = \mathbb{Z}ただし、～とは、 m+n^{'} = m^{'} +nが成立することである。半群からでも同値関係を使えば、群を作れる！
  • ドラーム・コホモロジー。多様体（空間）Xに対して、群、で対応させる。 \Omega^k(X) = \{ \Sigma_{i_1,＜ \cdots, ＜i_k} f_{i_1,＜ \cdots, ＜i_k} (X) dx^{i_1} ∧\cdots ∧ dx^{i_k}　として、X上のk形式全体の集合を表す。
  • 外微分として、 d : \Omega^k(X) \rightarrow \Omega^{k+1} (X)（線形）とすると、k形式はk+1形式となる。  f_{i_1,＜ \cdots, ＜i_k} (X) dx^{i_1} ∧\cdots ∧ dx^{i_k} \rightarrow \Sigma_{y}^n\frac{\partial f}{\partial x^{y} }(X) dx^{y} dx^{i_1} ∧\cdots ∧ dx^{i_k}。ここで、 d^2 = 0 　が重要。
  • \Omega^k(X)は大きいので、情報を抽出した、真のk形式、 H^k(X)を見ていく。ωが真のk形式とは、 d \omega = 0 \in \Omega^{k+1}(X) \\ \phi \in Omega^{k-1}(X)任意のk-1形式を用いて、 d \phi \in Omega^{k}(X)とかけるk形式は0と思う。つまり、k形式 \omega ～ \omega^{'}　⇔\omega = \omega^{'} + d\phi \\　\phi \in Omega^{k-1}(X)
  • 類似した話。主張。任意の f(x)dxについて、 g(x)を上手く選ぶと、 f(x)dx = \bar{f}(x) dx + \frac{dg}{dx}(x)dx とかける。
  • ドラームコホモロジー。 H_{dR}^k(X) = H^k(X) \simeq \mathbb{R}となる。一般にこれをR係数常コホモロジーという。
  • 1)コホモロジーは空間Xの情報を持つ。 \Sigma_{i=0}^n dim H_{dR}^i(X) (-1)^i = Euler number　2)X上の場の分類を行っている。（分けているから）コホモロジー理論は、Xからある空間への場、という定式化。
  • K理論。空間Xから次数付き群 \{ K^n(X) \}に写すことを考える。位相的、解析的、代数的K理論がある。ここでは、位相的K理論から
  • 位相的K理論。 \Omega^k(X) は x\in Xを決めると、 dx^{i_1} ∧\cdots ∧ dx^{i_k}を基底に持つベクトル空間が定まる。各点xごとに、ベクトル空間が乗っているものを、ベクトル束という。（ベクトル空間を、1つの麦と考えて、麦畑をベクトル束と呼ぶ感じ）ベクトル束を使って、群、を定義する。ベクトル束E、Fがあると、2つの和 E \bigoplus Fはベクトル束。ベクトル束の集合、 \bigoplusは半群。
  • 良い半群は、群に出来る。（先ほどのは、グロタンディークの構成）これに習って、アティヤとヒルツェブルクの定式化をする。
  • 他のモデル（カロビの定式化（トポロジカル絶縁体の分類、対称性、ハミルトニアン）、フレドホルム作用素）などがある。

 

ここまでで良いことにする。

バイバイ！