群論と物理 - 医科学(仮)

代数は閉じた系の中で、議論するときに使える。
体内は閉じた系（反応とかは起こるけど、中だけでの話し）と見なせる。
体内の話を代数に使うことは出来ないだろうか。
こちらの記事を使う。
整数全体と、加法と、0の3つ組は、群。対称性を記述出来る道具。幾何や物理や化学でも使える。
群は、集合 $G$ と $G$ の上で閉じた二項演算 $×$ 、 $G$ の要素 $1$ の3つ組 $〈G, ×, 1〉$ で、3つの公理を満たすもの。

$G$ の任意の元 $a, b, c$ について、 $(a×b)×c = a×(b×c)$ が成立する。
$G$ の任意の元 $a$ について、 $a×1 = 1×a = a$ が成立する。
$G$ の任意の元 $a$ について、 $a×b = b×a = 1$ を満たす $G$ の元 $b$ が存在する。

圏 $G$ が群であるとは、 $Ob(G)$ が一元集合であり、任意の射[tex : f \in Mor(G)]が可逆であることである。
自明群、整数、有理数、実数、複素数、四元数、有限集合の置換の全体、 $n$ 次実正則行列の全体
単位元の唯一性。逆元の唯一性。吸収元が存在するならば自明群。逆演算可能性群。消去律。
群の位数。部分群。
有限群に関する重要な定理。Fermatの定理の一般化 $〈G, ×, 1〉$ を位数 $n$ の有限群とするとき、 $G$ の任意の元 $a$ について、 $a$ の $n$ 個の積 $a× \cdots ×a$ は1である。
Lagrangeの定理 $〈G, ×, 1〉$ を有限群とし、 $H$ をその部分群とする。このとき $〈G, ×, 1〉$ の位数は $H$ の位数で整除される。
Sylowの定理 $〈G, ×, 1〉$ を位数 $n$ の有限群とし、 $p$ を素数とする。 $p^m$ が $n$ を割り切る最大の整数を $m$ とすれば、 $G$ は位数 $p^m$ の部分群をもつ。
群の作用と例。群の典型的な例は、構造を持つ集合のある種の自己同型変換全体の集合。
Galois理論との関係。有限群は構造が調べやすいので、数学的対象から群を構成して、群論的に部分構造を調べると、調べたい数学対象と群について、似た関係を取ることが出来る。Galois理論で適用。
次にこちらの記事を見る。
物理と群論。
並進運動全体は群をなす（ベクトルは和について群をなす）。回転運動全体は群をなす。
群の表し方は一つではない。
群の表現の定義。ある群Gの元に対して、d次元の正方行列が存在し、群元の関係 $G_i = G_jG_k$ に対応して、行列の積の関係 $D(G_i) = D(G_j)D(G_k)$ が成り立つとき、行列 $D(G)$ の集合Dを群Gの表現という。
同値。群Gの異なる表現D、D’の表現行列 $D(G_i), D^{'}(G_i)$ が、正則な行列Sによって、 $D^{'}(G_i) = S^{-1}D(G_i)S$ のように表せるとき、２つの表現は同値という。
可約。群Gの表現Dの表現行列 $D(G_i)$ に同値変換を行い、 $D(G_i) = D^{(1)}(G_i) \otimes D^{(2)}(G_i)$ となるとき、表現Dは可約であるという。直和分解。
量子論では、エネルギー準位とその固有状態を分類したり、摂動加わった際のエネルギー準位の分裂を議論できる（定性的な）
物理系はハミルトニアンで表され、それを不変に保つ対称的操作Uは、 $[H, \quad U] = 0$ より、可換である。
縮退とは、同じエネルギー状態を持つ固有関数がいくつもあることだったが、これは、群論的には、対象操作によって、全ての固有状態を調べられる、ということになる。固有関数 $\phi_i$ は群Gの表現Dの基底となる。結局、1つのエネルギー準位に属する固有関数は対称操作群Gの既約な表現Dを張る。
定理。縮退している固有関数を基底にすると、ハミルトニアンの対称操作群の表現Dは一般に既約となる。
摂動を与えたら、可約になるけど、それを既約表現の直和に分解すると縮退の個数が議論可能に。
他にも面白そうな記事はたくさんあった（これとそれと、）

バイバイ！