ただのメモ

他の人に見せても良い方のメモ

群論と物理

  • 代数は閉じた系の中で、議論するときに使える。
  • 体内は閉じた系(反応とかは起こるけど、中だけでの話し)と見なせる。
  • 体内の話を代数に使うことは出来ないだろうか。
  • こちらの記事を使う。
  • 整数全体と、加法と、0の3つ組は、群。対称性を記述出来る道具。幾何や物理や化学でも使える。
  • 群は、集合 G Gの上で閉じた二項演算 × Gの要素 1の3つ組 〈G, ×, 1〉で、3つの公理を満たすもの。
  1.  Gの任意の元 a, b, cについて、 (a×b)×c = a×(b×c)が成立する。
  2.  Gの任意の元 aについて、 a×1 = 1×a = aが成立する。
  3.  Gの任意の元 aについて、 a×b = b×a = 1を満たす Gの元 bが存在する。
  •  Gが群であるとは、 Ob(G) が一元集合であり、任意の射[tex : f \in Mor(G)]が可逆であることである。
  • 自明群、整数、有理数、実数、複素数四元数、有限集合の置換の全体、 n次実正則行列の全体
  • 単位元の唯一性。逆元の唯一性。吸収元が存在するならば自明群。逆演算可能性群。消去律。
  • 群の位数。部分群。
  • 有限群に関する重要な定理。Fermatの定理の一般化 〈G, ×, 1〉を位数 nの有限群とするとき、 Gの任意の元 aについて、a n個の積 a× \cdots ×aは1である。
  • Lagrangeの定理 〈G, ×, 1〉を有限群とし、 Hをその部分群とする。このとき 〈G, ×, 1〉の位数は Hの位数で整除される。
  • Sylowの定理 〈G, ×, 1〉を位数 nの有限群とし、 p素数とする。 p^m nを割り切る最大の整数を mとすれば、 Gは位数 p^mの部分群をもつ。
  • 群の作用と例。群の典型的な例は、構造を持つ集合のある種の自己同型変換全体の集合
  • Galois理論との関係。有限群は構造が調べやすいので、数学的対象から群を構成して、群論的に部分構造を調べると、調べたい数学対象と群について、似た関係を取ることが出来る。Galois理論で適用。
  • 次にこちらの記事を見る。
  • 物理と群論
  • 並進運動全体は群をなす(ベクトルは和について群をなす)。回転運動全体は群をなす。
  • 群の表し方は一つではない。
  • 群の表現の定義。ある群Gの元に対して、d次元の正方行列が存在し、群元の関係 G_i = G_jG_kに対応して、行列の積の関係 D(G_i) = D(G_j)D(G_k)が成り立つとき、行列 D(G)の集合Dを群Gの表現という。
  • 同値。群Gの異なる表現D、D’の表現行列 D(G_i), D^{'}(G_i)が、正則な行列Sによって、 D^{'}(G_i) = S^{-1}D(G_i)Sのように表せるとき、2つの表現は同値という。
  • 可約。群Gの表現Dの表現行列 D(G_i)に同値変換を行い、 D(G_i) = D^{(1)}(G_i) \otimes D^{(2)}(G_i)となるとき、表現Dは可約であるという。直和分解。
  • 量子論では、エネルギー準位とその固有状態を分類したり、摂動加わった際のエネルギー準位の分裂を議論できる(定性的な)
  • 物理系はハミルトニアンで表され、それを不変に保つ対称的操作Uは、 [H, \quad U] = 0より、可換である。
  • 縮退とは、同じエネルギー状態を持つ固有関数がいくつもあることだったが、これは、群論的には、対象操作によって、全ての固有状態を調べられる、ということになる。固有関数 \phi_iは群Gの表現Dの基底となる。結局、1つのエネルギー準位に属する固有関数は対称操作群Gの既約な表現Dを張る
  • 定理。縮退している固有関数を基底にすると、ハミルトニアンの対称操作群の表現Dは一般に既約となる。
  • 摂動を与えたら、可約になるけど、それを既約表現の直和に分解すると縮退の個数が議論可能に。
  • 他にも面白そうな記事はたくさんあった(これそれと、)

 

バイバイ!