経緯
- C0半群について、調べものをしていると、バナッハ空間という言葉に出会い、なんじゃこりゃとなった。さらに、バナッハ環という言葉も出てきて、これはまとめなければと思いたった。
バナッハ環の基礎理論と応用
- まず、こちらの記事をまとめる。
- バナッハ空間であり、環の構造を持つ、それがバナッハ環だ。
- バナッハ環の定義。Aを上のバナッハ空間とする。A内の任意の点xに対して、積xyが定義され、次の条件を満たすとき、Aをバナッハ環(バナッハ代数)と呼ぶ。任意のAに属するx、y、z、に属する任意のλに対して、1) 2) 3) 4) 気持ちは、普通の掛け算の結合・分配法則、スカラー倍に関する甘さ、長さは偽の三角不等式みたいなもの、を満たす、ということか。
- バナッハ環に対して、任意のAに属するx、yに対して、が成立するなら可換バナッハ環という。
- 単位元を持つバナッハ環。長さが1の、Aに属するあるeがあって、全てのAに属する元xに対して、が成立するとき、eをAの単位元という。
- スペクトル(行列の固有値に似たもの)をσ(x)とかくと、スペクトル半径は、
- バナッハ空間の指標とイデアル。が、がすべてのa,b ,λ, μで満たすなら、ΦをA上の指標という。(気持ちは、線形性を持ち、掛け算も出来る、関数のこと)。MをA上の非自明な指標全体とすると、Mは極大イデアル空間という。(関数全体の空間)
- Gelfand表現。x^(Φ)=Φ(x)によって、定義される、x^: M→Cなる写像。この、^ をGelfand表現という。
- Gelfand表現定理。「Aを単位元eを持つ可換バナッハ環とし、MをAの(Gelfand位相を持つ)極大イデアル空間。Gelfand表現が準同型写像であり、関係式 さらに、σ(x)はxの値域である。(Gelfand表現の値域と、もとのxのスペクトルが一致する。)Gelfandの(Gelfandの大きさの最大値は、スペクトル半径となる)、xがA内で可逆なら、Gelfandのとなる。
- バナッハ環の応用。ボルテラ差分方程式。の基本解r(n)の総和可能性を考える。(?)。空間を考えると、の任意の元a、bに対して、として、結合積を導入する。は可換バナッハ環となる。単位元を持つ。
- の元aについて、となる。aは可逆である。なので、逆元bがある(むろん、結合積がe)
- ボルテラ差分方程式の特性方程式がで解を持たないことと、基本解が総和可能であることは、同値。
- Wiener’s Lemma
まだわからないことも多いが、今はこれで良しとする。
バイバイ!