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「代数幾何の源流を求めて」

こちらの記事をまとめる。

  • 代数幾何は、代数(幾何)を用いて幾何(代数)を研究する。座標幾何は前提だが、座標系に依存しない概念・道具を使う。
  • パッポスの定理と射影幾何。

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    2直線上に三点をとって、それを結んでいくと、3つの交点は同一直線上に並ぶ、という定理。
  • 射影平面。平面幾何に限って話をすると、、平行線公理がある。「与えられた直線Lとその上にない点Pに対してPを通りLと交わらない直線Mが存在する」ユークリッド幾何なら1つ、非ユークリッド幾何のクライン模型では、M+からM-まで連続的に存在。射影平面では、「異なる2直線は常に1点で交わる」。この射影平面が代数曲線と繋がってくる。
  • 代数と幾何。代数方程式。 ax+by+cz=a'x+b'y+cz' = 0について、 a:b:z =a':b':c'なら、ちょうど一個の解を持つ。という、定数倍の解を同一視する考えを採用する。これは、射影平面の性質と同値になる。射影平面の点は3つの数の連比 (p:q:r)とする。
  • 平面代数曲線。普通のxy平面では、座標が F(x,y)=0をという一つの関係を満たす点の軌跡を曲線という。フェルマー予想「次数が3以上の時、代数曲線の上の有理点は自明なものしかない。」
  • 射影化と斉次化。射影平面を考えると、 f(x,y,z) =0を考えて、 z=1の時、普通のxy平面の曲線。なので、射影平面を考える方が自由度が高い。代数曲線について、 C_1, C_2の和 C_1 \cap C_2は、関数の積となる。可約といえる。代数学の基本定理(高次の方程式)
  • 射影平面では、角度や長さをほとんど問題にしない。射影変換でもって不変な性質のみが追及される。
  • パスカルの定理「2次曲線に内接する6角形の3対の向かい合う辺の交点は、一直線上にある。
  • ベズーの定理「射影平面内で、m次代数曲線とn次代数曲線は重複度を数えると丁度 mn個の点で交わる」もし、これより交点が多いなら、共通成分を持つ。
  • ミケル点。三角形の三辺に一点ずつとって、頂点を近い辺上の2点の、3点の外接円は1点で交わる。これは、震源地の推定に似ている。

 

バイバイ!