何度も言ったのに - 医科学(仮)

1）前に頼み事をしたのに、再び催促したら頼まれていない、と言われる場面がある。

2）以前見たはずのものを、次に見たとき、初めて見た、と感じる場面がある。

要は、経験したはずのことを、忘れてしまうがために、初めての経験として、感じる。ということだ。1）は、相手の話。2）は自分の話。

数学にする。

確率 $p, (0＜p＜1)$ で起こる事象Aがあるとする。

例えば、サイコロをふって1が出る、という事象を考えると、1/6の確率で起きる。

それで、事象Aが起きたとき、結果を確率qで忘れるとすると、初めて事象Aが起きたと”覚える”のは、何度目の試行の時か、と言う問題にしてみよう。

pとqの関係についても考える。

n回目に初めて事象Aを覚える確率は、r+1回目の事象で覚えるとして、それをΣでrについて和を取る。

$\Sigma_{r=0}^{n-1} {}_{n-1} C_r p^r (1-p)^{n-1-r} q^r ×p(1-q) \\ = (1-p + pq)^{n-1}p(1-q)$

よって、nの期待値は、（経験したことを覚えているまでにかかる時間）、

$\mathbb{E}[n] = \Sigma_{n=1}^\infty n(1-p+pq)^{n-1} p(1-q) \\=p(1-q)/(1-(1-p+pq))^2 \\= p^{-1}(1-q)^{-1}$

つまり、経験を覚える（頼み事を覚える）までにかかる時間は、経験の起こる確率Pと経験を忘れず記憶する確率R（remember）を使って、1/PR　と表される。

綺麗！！！と思われるが、これはある意味当然の結果で、1回の試行あたり、事象Aが起きて、且つ覚える確率はPRなので、覚えるまでにかかる時間はその逆数、というのが、はやい説明。今回はまわりくどく書いてみた。

次に、初めての体験で、それを覚えるまでにかかる時間（試行回数）の期待値は、一発で覚えることが出来た、という情報を加味した、条件付き期待値となり、

$\mathbb{E}[n | 1st] = \Sigma_{n=1}^\infty (n q/p)/q \\=1/p$

である。

一方で、今回のタイトルみたいに、前にも言った（見た）、という情報が与えられている時、

そのようなことが起こる確率は、 $1-q$

よって、その情報有りでの、時間の期待値は、

$\mathbb{E}[n | not 1st] =( \mathbb{E}[n]- q\mathbb{E}[n |1st] )/(1-q)\\=(1-q+q^2)/\{p(1-q)^2\}$

となる。

よって、前にも言った、という現象が起きていた、と言う情報を与えられているなら、

自分がその経験を獲得するまでに、覚える確率を $r(=1-q)$ とおくと、 $(r^2-r+1)/(pr^2) (＞ 1/pr)$ かかった、といえる。

それはさておき、実験する。

3次元曲面の描画については、こちらの記事を参考にした。

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as npx = np.arange(0.01,0.99,0.001)
y = np.arange(0.01,0.99,0.001)
X, Y = np.meshgrid(x, y)

Z = (X*(1-Y))**-1fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
ax.set_xlabel("p")
ax.set_ylabel("q")
ax.set_zlabel("E(n)")
ax.plot_wireframe(X, Y, Z)
plt.show()

f:id:medical-science:20210901201548p:plain

出来れば、一度感じたことは、忘れないでいたいものですね。

バイバイ！