ただのメモ

他の人に見せても良い方のメモ

OMCE001

こちらの大会の問題を使用する。

 

A.  x^2 - px -2q =0の解を求める。2つの解をα、βと置くと、放物線と直線の交点で挟まれた線分の距離の二乗は、 (\beta^2-\alpha^2)^2 +(\alpha-\beta)^2 = (\alpha^2 +\beta^2)^2- 4\alpha^2\beta^2 + (\alpha+\beta)^2 -4\alpha\beta \\= ((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta)^2- 4\alpha^2\beta^2 + (\alpha+\beta)^2 -4\alpha\betaとなる。

ここで、解と係数の関係より、 \alpha +\beta = p,  \alpha \beta =-2qである。よって、距離が2rであることも利用して、4r^2 = (p^2+4q)^2 -16q^2+p^2+8q\\=p^4+8p^2q+p^2+8q=(p^2+8q)(p^2+1) 

ここで、pが奇数の時、pの二乗は4で割って1余る。しかし、 4r^2 = (p^2+8q)(p^2+1)、の左辺は、4で割って余り0、右辺は、4で割って余り2より、不適。よってpが偶数である。pは素数なので、 p=2が確定する。

すると、 r^2 = 5(1+2q)となり、rは素数で、rが5を素因数に持つので、 r=5, q=2が確定する。求める答えは、 p+q+r = 9

 

 B.  x^2+y^2+z^2 = kと置くと、 (x+y+z)^2 = (k+2xy+2yz+2zx)とかける

ここで、 (x+y+z)^2 = (2x^2+2xy+2y^2)+(2y^2+2yz+2z^2)+(2z^2+2zx+2x^2)-3k\\ =2(25+49+64)-3k=276-3kである。

また、 x+y+z = tと置く。

 (x^2+xy+y^2)-(y^2+yz+z^2) = 25-49\\ t(x-z)=-24

よって、 t^2(x-z)^2 = 576\\ t^2(x^2-2xz+z^2)+t^2(2x^2+2xz+2z^2)=576+t^2(2x^2+2xz+2z^2)\\3t^2(x^2+z^2)=576+128t^2

同様に、 3t^2(y^2+x^2)=225+50t^2\\ 3t^2(z^2+y^2)=1521+98t^2

よって、3つの式を足し合わせると、 3t^2(2x^2+2y^2+2z^2)=2322+276t^2\\t^2(x^2+y^2+z^2)=387+46t^2

ここで、 t^2 = 276-3kであったので、 (276-3k)k =387+ 46(276-3k)\\(k-49)(k-89)=0

よって、 k=49, 89となるが、x,y,zは正の実数なので、t^2 = 276-3k\ge k \\ k \le 69 

だから、 k=49

 

 

C. 全ての数の積を考える問題。積は、素因数に分解出来る。素因数は2,3,5があり得る。2と3については4とか6とかを考える必要があるので、面倒くさそう。なので、先に5を考える。

5は0~100個含まれる可能性がある。5を100-i個含むとき、他の数をi個掛けていることになる。

i個の(1, 2, 3, 4, 6)のいずれかの数の積として、ありうる種類を、f(i)とおく。

f:id:medical-science:20210818153658p:plain

ここで、k回(1、2、3、4、6)から1つ取り出したものの積について、k-1回のものとの数を比較すると(黒い数)、3k+1個増加していることに気づく。よって、漸化式で表せて、

 f(k) = f(k-1)+3k+1 \\ f(0)=1

よって、 f(i) = 3/2i^2+ 5/2i+1となる。

求める答えは、5も考慮するので、iを0から100まで足し上げたものとなる。

 \Sigma_{i=0}^{100} f(i) = 3*100*101*201/8 + 5*100*101/4 + 101= 520251

 

D. 答えは106らしいが、わからない。反比例のグラフが関係しているらしい。パス。

関数方程式について、全射単射が大事だ。詳しくはこちらの記事とそちらの記事を参照されたい。