今回はこちらのコンテストについて書く。
A.
△ABDについて、∠BAD＝180－65－50＝65＝∠BDAより、AB＝DB＝CD。△BCDについて、∠DBC＝∠DCB＝(180－∠BDC)/2＝60なので、△DBCは正三角形。よって、BC＝BD＝BA。よって、3点A, C, Dは点Bを中心とする、半径BAの円上にある。
∠ACD＝∠ABD/2＝50/2＝25。求める、∠BCA＝∠BCD－∠ACD＝60－25＝35°
B.
tanθ＝1/2、sinθ＝1/√5より、sin2θ＝2*(1/√5)*(2/√5)＝4/5。tan2θ＝4/3となる。
よって、PC＝BC/tan2θ＝DC*3/4なので、DP＝DC/4。DQ＝DM*tan2θ＝(AD/2)*4/3＝DC*2/3より、QC＝DC/3となる。よって、PQ＝DC*5/12、よって、求める比は、DP:PQ:QC＝3:5:4。和は12
C.
n個の白玉列を黒玉列に変える操作の数を、f(n)と置く。
図のように、n=5の時を考えて、逆にたどると、白玉の数は操作には全く関係無いので、黒玉4つの列を作る問題に変わる。これはf(4)を考える問題になり、漸化式を使って求められそうである。
よって、f(16)=8*f(15)=8*8*7*7*6*6*5*5*4*4*3*3*2*2*1*1=1625702400
D. p+q=r^2, p-q=s^4, r+s^2=qなので、2*q=r^2-s^4=(r+s^2)(r-s^2)=q*(r-s^2)。よって、r-s^2=2 。rが奇数なら、sは奇数である。rが偶数なら、sは偶数となる。すると、qは偶数となる。qが偶数であるので、pとrの偶奇が一致し、pとsの偶奇が一致する。qが偶数であり、p, r, sの偶奇が一致し、互いに素な組なので、p, r, sは奇数である。
sは2以上なので、sは3以上である。s=3のとき、r=3^2+2=11 。q=11+3^2=20 。p=11^2-20=101 。よって、p*q=2020