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JMO2021予選 第3問、第4問

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3.四角形PDCEを線分PDを固定してひっくり返すと、角度が一致しているので、Eは線分FP上にのり、Cは線分BD上にのる。よって、(黄緑の長さ)=5-2=3、(水色の長さ)=9-5=4 。PF⊥ABより、sin∠ABC=(黄緑)/(水色)=3/4 なので、AB=(BC/2)/cos∠ABC=14/(2*√(1-(3/4)^2))=4√7 

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4.a,b,cのそれぞれの差の変化に注目する。図のように、黒い三角形の各々の辺の中点を結んで、赤い三角形を作る。点A(a)、点B(b)、点C(c)を、点A'((b+c)/2)、点B'((c+a)/2)、点C'((a+b)/2)に移す。

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設問の、3つの文字を変換する操作は、三角形の座標について、黒い三角から、中点を結んだ小さい三角形を作る操作と、見なすことが出来る。

ここから、3つの数字の差に注目する。

BC=c-bが、B'C'=(c-b)/2となり、2つの数字の差が、一回の操作で、半分になる。よって、2021回操作すると、2^2021分の1となる。よって、3つの数字の差は、全て2^2021の倍数である。そのような自然数の組で、最小となるのは、1, 1+2^2021, 1+2^2022なので、和は、3+3*2^2021