双曲線関数に入門する（つもりが、いつの間にかq-解析がメインになってしまった）

双曲線について気になった。偏微分方程式で楕円型、放物線型、双曲型、とあるのだが、楕円、放物線はイメージできるのだが（高校数学の名残だろうよ）、双曲線について、ぼんやりとしか知らない（話せない）ことに気づいた。だから、知りたいことは、１）双曲線関数とは何か、２）双曲線関数の使い方や使うタイミング、３）双曲線関数とのつながり、である。

双曲線関数とは何か
双曲線関数を使う

はじめましょうか

双曲線関数とは何か

まず、Wikiさんに聞いてみよう。

「三角関数と類似の関数。標準形の双曲線を媒介変数表示するときにあらわれる」
円上の点を、角度の情報で、場所を決められるけれど、その時、角度を使って、ｘｙ座標を書いたのが、三角関数だ。それは、 $x^2 + y^2 = 1$ 、という式だった。そのy^2の符号を入れ替えた、 $x^2 - y^2 = 1$ が標準形の双曲線の定義式だ
角度ではないが、点を表す変数として、 $\theta$ がある。
それを使えば、双曲線関数 cosh、sinhを定義できる。上の三角形の面積がθ/2となるという条件がある。角度は対応しない。
$\operatorname {sinh} x={e^{x}-e^{-x} \over 2},\;\operatorname {cosh} x={e^{x}+e^{-x} \over 2}$
双曲線正弦関数、双曲線余弦関数を書くと、こんな感じ。指数関数を足したり引いたりしたら、双曲線の座標が出てきた。
特徴は、加法定理や微分公式だ。逆関数が積分で時々使えそう ${\begin{aligned}\sinh(\alpha +\beta )&=\sinh \alpha \cosh \beta +\cosh \alpha \sinh \beta \\\sinh(\alpha -\beta )&=\sinh \alpha \cosh \beta -\cosh \alpha \sinh \beta \\\cosh(\alpha +\beta )&=\cosh \alpha \cosh \beta +\sinh \alpha \sinh \beta \\\cosh(\alpha -\beta )&=\cosh \alpha \cosh \beta -\sinh \alpha \sinh \beta \\\tanh(\alpha +\beta )&={\frac {\tanh \alpha +\tanh \beta }{1+\tanh \alpha \tanh \beta }}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cosh x&=\sinh x\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tanh x&=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\coth x&=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {csch} x&=-\coth x\operatorname {csch} x\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {sech} x&=-\tanh x\operatorname {sech} x\end{aligned}}$ ちなみに複素数版の加法定理もあるらしい。こちら。
三角関数と双曲線関数の合成、という意味での加法定理だ。ここまで互換性が良いとは。
二階の線形微分方程式の基本解となっている。 ${{{\rm {d}}}^{2} \over {{\rm {d}}}x^{2}}y(x)=y(x)$
後は、べき級数展開の形が、整数論と結びつきがありそう（な気がする、根拠なし）。 ${\begin{aligned}\sinh(\pi z)&=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)\\\cosh(\pi z)&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z^{2}}{(n-1/2)^{2}}}\right)\end{aligned}}$

双曲線関数を使う

なんでも使えるに越したことはないし、使える状態に置いておかないと、結局学んだ価値が薄れてしまう。

双曲線関数を使う場面を羅列し、それぞれについて、考察する。

まずは、こちらのペイパー。一般化した三角関数と双曲線関数を定めている。

積分して、逆関数を定めるものがある。
そこで、2を $p$ に一般化する琴が出来る。

同じことが、双曲線関数でも出来る。

他には、こちらのペイパーがある。

q解析が無限積の拡張としてある。これは、量子群と関わる。と共に、非線形現象を扱うのに便利。q振動代数は、多くの関数のq類似、Hermite多項式、Laguerre多項式、超幾何関数と繋がる。
指数関数のq版、つまり、q指数関数も定められる。（階乗の部分をqの関数で表す）。
量子群と、統計力学の結びつきが、一般化エントロピーの概念から、考えられている。qが1なら、ボルツマン的な表現に一致する。
Tsallis統計は熱力学のルジャンドル変換を保つ。ノイマン方程式のエーフェレンスト定理（運動方程式の量子での期待値版、古典と量子との対応付け）を満たす。フォン・ノイマン方程式は、密度演算子の時間発展を表す式で、

密度演算子とハミルトニアンの括弧積が、時定数の定数倍となる、イメージ。適応範囲は、いろいろ。
Tsallisエントロピーは、 $S_q = k \{W^{1-q} -1\}/(1-q)$ で、qが1に近づけば、 $S = k lnW$ となる。このq対数関数とか、q指数関数が、Tsallis統計で大事。
非線形振動方程式の解として、q指数関数があって、これはq三角関数やq双曲線関数と関係が深い。

ちなみに、q解析についてはこちらの記事。

q微分、微分というと、少しずらす時に、加法を使いがちだが、それを乗法でずらす、のをqで行った。 $d_q f(x) = f(qx) - f(x)$ 　と定義する。それから、q微分を定義したら、q導関数も定義できる。 $D_q f(x) = d_q f(x)/{d_q x}$
Taylorの公式「多項式空間上の線形作用素Dと、多項式列 $\{P_n (x)\}$ について、Pn(x)は最高次数n、P0(a)=1,n>1ならPn(a)=0、DPn(x)=Pn-1(x)ただしD(1)=0、の3つを満たせば、 $f(x) = \Sigma_{n=0}^N (D^n f)(a) P_n(x)$ 、が成立する。直交して、一個一個がして続き続きで、連鎖してたら、その列で分解出来る。という心。
累乗もq解析で表せる。そして、次数Nの多項式は、q-Taylor展開は、 $h(x) = \Sigma_{j=0}^N (D_q^j h)(a)(x-a)_q^j/[j]!$
そこから、q-Taylor展開の定義を拡張して、 $h(x) = \Sigma_{j=0}^\infty (D_q^j h)(a)(x-a)_q^j/[j]!$ 、それを使って、Heineの二項定理、Gaussに二項定理を作れる。そのnを∞に飛ばすと、Eulerの恒等式、E1とE2を作ることが出来る。 $(1+x)_q^\infty = \Sigma_{j=0}^\infty q^{j(j-1)/2} x^j / \{(1-q)(1-q^2)...(1-q^j)\}$ と、 $1/(1-x)_q^\infty = \Sigma_{j=0}^\infty x^j / \{(1-q)(1-q^2)...(1-q^j)\}$
ここから、Jacobiの三重積公式、
を証明出来る。これは、オイラーの五角数定理（自然数を偶数個に分ける組み合わせと、奇数個に分ける組み合わせの、差を、調べたもの）、を示すことが出来る。