ただのメモ

他の人に見せても良い方のメモ

双曲線関数に入門する(つもりが、いつの間にかq-解析がメインになってしまった)

双曲線について気になった。偏微分方程式楕円型、放物線型、双曲型、とあるのだが、楕円、放物線はイメージできるのだが(高校数学の名残だろうよ)、双曲線について、ぼんやりとしか知らない(話せない)ことに気づいた。だから、知りたいことは、1)双曲線関数とは何か、2)双曲線関数の使い方や使うタイミング、3)双曲線関数とのつながり、である。

 

はじめましょうか

 

 双曲線関数とは何か

まず、Wikiさんに聞いてみよう。

  • 三角関数と類似の関数。標準形の双曲線を媒介変数表示するときにあらわれる」
  • 円上の点を、角度の情報で、場所を決められるけれど、その時、角度を使って、xy座標を書いたのが、三角関数だ。それは、 x^2 + y^2 = 1、という式だった。そのy^2の符号を入れ替えた、 x^2 - y^2 = 1 が標準形の双曲線の定義式だ
  • 角度ではないが、点を表す変数として、 \thetaがある。

    それを使えば、双曲線関数coshsinhを定義できる。上の三角形の面積がθ/2となるという条件がある。角度は対応しない。

  • {\displaystyle \operatorname {sinh} x={e^{x}-e^{-x} \over 2},\;\operatorname {cosh} x={e^{x}+e^{-x} \over 2}}

    双曲線正弦関数、双曲線余弦関数を書くと、こんな感じ。指数関数を足したり引いたりしたら、双曲線の座標が出てきた。

  • 特徴は、加法定理や微分公式だ。逆関数積分で時々使えそう{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(\alpha +\beta )&=\sinh \alpha \cosh \beta +\cosh \alpha \sinh \beta \\\sinh(\alpha -\beta )&=\sinh \alpha \cosh \beta -\cosh \alpha \sinh \beta \\\cosh(\alpha +\beta )&=\cosh \alpha \cosh \beta +\sinh \alpha \sinh \beta \\\cosh(\alpha -\beta )&=\cosh \alpha \cosh \beta -\sinh \alpha \sinh \beta \\\tanh(\alpha +\beta )&={\frac {\tanh \alpha +\tanh \beta }{1+\tanh \alpha \tanh \beta }}\end{aligned}}}{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cosh x&=\sinh x\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tanh x&=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\coth x&=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {csch} x&=-\coth x\operatorname {csch} x\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {sech} x&=-\tanh x\operatorname {sech} x\end{aligned}}}ちなみに複素数版の加法定理もあるらしい。こちら

    f:id:medical-science:20210714002055p:plain

    三角関数双曲線関数の合成、という意味での加法定理だ。ここまで互換性が良いとは。
  • 二階の線形微分方程式の基本解となっている。{{{\rm {d}}}^{2} \over {{\rm {d}}}x^{2}}y(x)=y(x)
  • 後は、べき級数展開の形が、整数論と結びつきがありそう(な気がする、根拠なし)。{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(\pi z)&=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)\\\cosh(\pi z)&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z^{2}}{(n-1/2)^{2}}}\right)\end{aligned}}}

 

 双曲線関数を使う

 なんでも使えるに越したことはないし、使える状態に置いておかないと、結局学んだ価値が薄れてしまう。

双曲線関数を使う場面を羅列し、それぞれについて、考察する。

まずは、こちらのペイパー。一般化した三角関数双曲線関数を定めている。

  • 積分して、逆関数を定めるものがある。

    f:id:medical-science:20210724004039p:plain

    そこで、2を pに一般化する琴が出来る。

    f:id:medical-science:20210724004147p:plain

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    同じことが、双曲線関数でも出来る。

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他には、こちらのペイパーがある。

 

ちなみに、q解析についてはこちらの記事

  • q微分微分というと、少しずらす時に、加法を使いがちだが、それを乗法でずらす、のをqで行った。 d_q f(x) = f(qx) - f(x) と定義する。それから、q微分を定義したら、q導関数も定義できる。 D_q f(x) = d_q f(x)/{d_q x}
  • Taylorの公式「多項式空間上の線形作用素Dと、多項式 \{P_n (x)\}について、Pn(x)は最高次数n、P0(a)=1,n>1ならPn(a)=0、DPn(x)=Pn-1(x)ただしD(1)=0、の3つを満たせば、 f(x) = \Sigma_{n=0}^N (D^n f)(a) P_n(x)、が成立する。直交して、一個一個がして続き続きで、連鎖してたら、その列で分解出来る。という心。
  • 累乗もq解析で表せる。そして、次数Nの多項式は、q-Taylor展開は、 h(x) = \Sigma_{j=0}^N (D_q^j h)(a)(x-a)_q^j/[j]!
  • そこから、q-Taylor展開の定義を拡張して、 h(x) = \Sigma_{j=0}^\infty (D_q^j h)(a)(x-a)_q^j/[j]!、それを使って、Heineの二項定理、Gaussに二項定理を作れる。そのnを∞に飛ばすと、Eulerの恒等式、E1とE2を作ることが出来る。 (1+x)_q^\infty = \Sigma_{j=0}^\infty q^{j(j-1)/2} x^j / \{(1-q)(1-q^2)...(1-q^j)\}と、 1/(1-x)_q^\infty = \Sigma_{j=0}^\infty x^j / \{(1-q)(1-q^2)...(1-q^j)\}
  • ここから、Jacobiの三重積公式

    f:id:medical-science:20210724110613p:plain

    を証明出来る。これは、オイラーの五角数定理自然数を偶数個に分ける組み合わせと、奇数個に分ける組み合わせの、差を、調べたもの)、を示すことが出来る。

 

 Tsallis統計や量子群について、興味が出てきそうだが、それはまた別の機会にする。まとめとしては、双曲線関数が、三角関数の友達として登場して、q解析みたいな形で、三角関数と一緒に進化して、非線形振動とかを扱えるようになった。

 

それでは、バイバイ!