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偏微分(入門)と考察

偏微分について理解しているつもり(多変数関数で、微分したい変数以外固定して、一変数関数みたいにして、微分すること)だったけど、それ以上に知らなくて、使い方も繋がりも知らないので、この時間は、せっかくなので、1)偏微分とは何?、2)偏微分をいつ使う?、3)偏微分とのつながり、の3点について、調べてまとめて、考えた。

 

 

偏微分の雰囲気をつかむ

まず、ヨビノリさんの説明で理解したい。

  1. 偏微分の意味
  2. 計算方法
偏微分とは何か

普通の(1変数の)微分は、xの変化に対するyの変化、つまり、

dy/dx=lim(Δx→0){f(x+Δx)-f(x)}/Δx

という形をしていた。これは接線の傾きである。

ここまでは復習。

多変数関数で、ある1つの変数のみの変化に対する、関数の値の変化、つまり、

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という形をしている。

これは、超曲面上で、ある方向(変数軸)への傾きを求めることである。(東西方向に動いたら、山の高さはどう変わるか)

偏微分の計算方法

実際は、他の変数を固定する(定数として扱う)ので、実質は普通の微分である。(偏微分は、指定した対象以外に作用しない、演算、ということか?、)

 

ヨビノリさんありがとう。

 

 

偏微分の立ち位置を知る

次はWikiさんの説明。

  • 基本的に説明は同じ。偏微分とは、多変数関数に対して、一つの変数のみに関する微分である。ベクトル解析微分幾何学などで用いられるらしい。
  • 偏微分方向微分の特別な場合である。方向微分は、山のどの方向(南南東とか)に進めば高さがどれくらい変化するか、というどの方向に動くかの自由度が高い。一方で偏微分は、東西、南北と、変数ごとにしか動けないから、より狭い概念である。和の法則、定数倍の法則、積の法則(ライプニッツの法則(どっちか微分したらええやろ則))、連鎖律が成り立つ。微分幾何学的には、微分可能多様体上の点での接ベクトルに沿った、その点の近傍に定義される、その点について微分可能な関数の、方向微分を、定められる。
  • f:id:medical-science:20210713191622p:plain

    法線微分も同じ感じ。結局まとめると、向き(規格化してる)が決めれる(座標系とかベクトルとか多様体も閉曲面も山も)、場所(方位磁針ある)で、つるつるしてる(微分可能な、連続な)もの(関数とかベクトル場、テンソル場)が、どう変わるねん、ていうのが、方向微分や。あっち(の方向)いったら、つるつるのスキー場どんだけ滑んねん。というイメージ。
  • 偏微分にしろ、方向微分にしろ、無限次元なら、ガトー微分に一般化される。一番広いのが、ガトー微分。ガトー微分学園大学方向微分学部偏微分科や。正味言ってることは、さっきの方向微分の無限次元版や。どっち進んだら、どんだけ(スキー)の速度でんねん。てやつや。
  • 定義は、偏微分は、R^nのある領域Dの各点において、極限\lim _{{\Delta x_{i}\to 0}}{\frac  {f(x_{1},\ldots ,x_{i}+\Delta x_{i},\ldots ,x_{n})-f(x_{1},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{n})}{\Delta x_{i}}}
    が存在する時、その極限として、得られるD上の関数を偏微分偏導関数)という。スキー場Dの上で凸凹してない(ならされている)ときの、方位(南北、東西)での傾き方の情報(地図、グラフ)のことや。これが一階微分やから、高階偏導関数は、多重指数αを定義して、\partial _{\alpha }f={\frac  {\partial ^{{|\alpha |}}f}{\partial x_{1}^{{a_{1}}}\,\partial x_{2}^{{a_{2}}}\cdots \partial x_{n}^{{a_{n}}}}}=f^{{(\alpha )}}

    と定義できる。いくつものものから決められた数まで取る組み合わせだから、多項定理と関係が深い。C^2なら、可換っぽい。(ヤングの定理は、連続な二階偏導関数を持つなら、偏微分順序入れ替えれるよという定理(変数はnならシュワルツの定理))

  • 関数から、傾きベクトルと作るのが、勾配。
  • 二階偏微分を行列の形にまとめる(2種類の組み合わせは行列の行と列に対応させられる)とヘッセ行列極値判定に使える、正方行列、正定値なら極小、負定値なら極大、正負両方なら鞍点。リーマン多様体にも一般化で出来るらしい)を得る。
  • ちなみに、リーマン多様体とは、計量テンソル(空間の距離、角度を定義する階数が2のテンソル(見た目は行列))が各点で定義されている可微分多様体である。(2階のテンソルというのと、ヘッセ行列が、両方正方行列という点で、似てるね)
  • テイラーの公式で出てくる
  • 極値決定、微分幾何学微分を使う幾何学)で全微分求める、ベクトル解析の本質らしい。

 

 

偏微分の使い方としまい方

この記事を読んだ。

偏微分の意味とは、矢印一個(基底、変数)選んで、その方向にずらしたらどう変化しますか、ということ。 

偏微分可能性とは、一つだけ動かす一変数関数が微分可能である(傾きが、ずれを小さくしたら、収束する)こと

それがあるとき(たいていは)、使える!

続いて、このダブル記事(機械学習系)を使った。これこれ

  1. 目的の関数や変数を決める
  2. どれで偏微分するか、変数を決める
  3. 他の値を、定数だと思い込む
  4. 使う変数で微分する

ちなみに、「ラウンドディー」と読むらしい。

それで、重回帰分析はというと、あれは、いくつかの説明変数から、測定値を説明するような推定値を、線形の式を作ることで実現しているが、その際に、どの係数がいいかな、というところを最小二乗法を用いるわけだが、その際に最適解を求めるのに、偏微分した関数が0となることを利用して、最小(極小)値を求める。

 

 

偏微分と量子の繋がり

こちらの話を、ふんわりとまとめるつもりだったが、難しくて後回し。

偏微分方程式や、作用素函数論はまた別の記事にまとめる。

その後になったら、少しは理解が深まっていることだろう。その時にまた戻ってくればいいや。