ただのメモ

他の人に見せても良い方のメモ

Wavelet No.1

実数上の関数f(t)でα>0で、mはαの整数部分とする。Iを区間とすると、fがvでαリプシッツ連続とは、正数Kvと、次数mの多項式Pvが、あって、fとPvの差がtとvの差のα乗のオーダーよりも等しいOR小さい。

www.araiweb.matrix.jp

 連続ウェーブレット変換を用いて、関数の2つのタイプの特異点の概念を導入する。

 

そもそも、ウェーブレット変換とは、時間周波数を解析する手法である。短期的フーリエ変換に取って変わるものとなり得る。フーリエ変換を使えば、三角関数の線形結合で表すことが出来る。周波数成分に分けることが出来る。これは異常発生時に、異常周波数を検知して、バンドカットフィルタなるもので削除すれば、元通り。便利なものだ。

しかし、周波数解析は、あくまで平均的な、周波数がどれが含まれてました、ということしか知れない、つまり、周波数が時間と共に変化する場合に対して、無力だ。短時間フーリエ解析では、この解析で区切る間隔を狭める、そしてスライドすることで頑張って変化を捉えようとしている。

しかし、不確定性原理なるものがあり、周波数の誤差と時間間隔の誤差を掛け合わせた値には下限がある。

 aawave.show (osaka-kyoiku.ac.jp)

このウェーブレット変換では、マザーウェーブレットという特徴的な関数の形を決めて、あとは時間軸で平行移動しつつ、拡大縮小して周波数を調節して、時間と周波数のそれぞれの組み合わせに対して、重み付けを行う、つまり、線形結合で表すというものだ。詳しく知りたいだって?それはまた今度述べることとしよう。