Number Theory No.1

数論をいろいろまとめる。

代数的数、超越数

数には自然数、整数、有理数、実数、複素数などのクラス分けがある。代数的数とは、何らかの代数方程式の解となる数。それ以外の複素数超越数という。ここでの代数方程式は全て有理数とする。代数学の基本定理とは、n次方程式はn個の解が存在する。代数的数は、四則演算について閉じている、つまり体となる。体Kの係数を持つ代数方程式の解がK内にあるとき、Kを代数的閉体と言う。代数的数のなす体は有理数を含む最小の代数的閉体である。

ここで超越数について考える。

教材はこちら。

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~ooura/pi_trn.pdf

eの超越性について。背理法を用いている。つまり、eが代数的数であるという仮定で、代数方程式として扱いつつ、I(t)という関数を導入して、exp(x)の性質を利用した部分積分により、導関数の和と定数部分で表しつつ、絶対値評価する準備をする。pという大きな素数を用いて、f(x)なる多項式を導入して、さっきの代数方程式の係数とI(x)を組み合わせた、内積をとったようなJという値を準備する。Jは導関数の和だけに整理できる。ここで、Jは(p-1)!では割り切れるが、p!で割り切れない整数。よって、Jは(p-1)!と同じか大きい。あとは、さっきの積分の絶対値評価の部分を、適当な値を代入しつつ計算して、上限を決める。ここで、pは自由度を持った値、つまり、大きな素数は無限にあることを利用して、ここでの上限値と下限値が大小逆になるようなpを取らせて、矛盾。

対称式の基本定理とは、全ての対称式は基本対称式の多項式で表せる、というもの。これには二重帰納法が用いられる。ちなみに基本対称式とは、n個の値があった時に、k個取り出して積にしたものを全てのk個の組み合わせで和を取ったものを、1からnでやった集合のこと。ここから定理の証明に入る。

多項式Fの変数の数nとx1に関する次数dについて。n=1は全て成立し、d=0も全て成立。n-1で全て成立すると仮定し、nでd-1で成立すると仮定して、n次対称式-(n-1)次対称式が、1つの対称式を0にしたとき、0になることにより、因数定理により、それを割り切ることが判明。対称性より、Snは割り切れることとなり、(d-1)次n変数対称式は基本対称式で表せるので、かけ算で、d次に出来る。まとめたら、証明完了。

πの超越性の証明の準備は出来た。次のNumber Theroy回で説明するとする。