ただのメモ

他の人に見せても良い方のメモ

Calculus No.1

高速で復習する微積分学。

教材はこちら

http://www7b.biglobe.ne.jp/~h-kuroda/pdf/text_calculus.pdf

絶対値は負の時逆転させる。三角不等式は絶対値の性質使う。和の硬式と、2項定理はSkip。二重階乗とは、1つ飛ばしで掛け合わせること。0!!と1!!は1。部分分数分解を使えば、和や積分計算が容易になることも。分解後の分数は分母の方が次数が高い、これは多項式の除法による。ガウス記号はぎりぎり小さい整数のこと。不等式評価も大事。相加相乗平均、シュワルツの不等式~内積VS長さの積の平方。集合は要素を含む、0個以上。集合は部分集合を含む。集合は足せるし、共通部分も出せる。議論対象の要素全体の集合は全体集合とか、普遍集合という。Aじゃない方のは、補集合という。土・モルガンの定理とかある。帰納法という証明方法、条件と性質を考えて連鎖的に成立させる。関数は、実数の空でない部分集合から、実数を1つ指定する写像を関数という。定義域と値域。独立変数から求まる従属変数。最大値と最小値があるかも。区間の2つの変数を比較したときの、恒常的な性質として、単調増加OR単調減少とかあり、勿論一定も。広義と狭義もある。三角関数には、加法定理、2倍角、半角、和積、積和、合成とかある。

 

区間いは開区間と、閉区間と、半開区間とがある。実際には半開区間は2通りあり。実数は開区間とも閉区間とも考えれる。2つの不連続なやつは区間ではない。点Aのε近傍は開区間である。空集合じゃない集合で、その上界であるとは、それより集合内のものは等しいあるいは小さいてこと。要するに天井。上界があることを上に有界ということ。下界は床。下に有界は床がある。天井も床もあるときは、有界という。部屋みたいなもん。上界かつ含まれるとき、最大値という。下界かる含まれるとき、最小値という。上界が空集合じゃない時、上界の最小値を上限という。下界が空集合じゃない時は、下界の最小値を下限という。数列に対しても同じ事が言える。最大値とか最小値とかもある。実数の連続性:空でない集合が上に有界なら、その集合の上限がある。下限も同様。上限定理を説明するには、デデキントの切断がいるそうだ。

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全順序集合を一方が他方の全ての元より小さい、2つの組で分ける。このとき、両方の組とも空集合ではない。このような組をデデキント切断という。

以下では、全順序集合の切断では、実数にたいする切断では、下組には最大元があり、上組には最小元がないパターンと、下組には最大元がなく、上組には最小元があるパターンのいずれかなので、対応する境界の元が唯一となる。これをデデキントの定理という。